Question

【题目】已知，如图，A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，C点坐标是(1，1)

(1)求△ABC的面积是____；

(2)求直线AB的表达式；

(3)一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，求k的取值范围；

(4)y轴上有一点P且△ABP与△ABC面积相等，则P点坐标是_____．

Answer 1

【答案】(1)4；(2)y＝﹣x+；(3)0＜k≤1或﹣≤k＜0；(4)(0，)或(0，)．

【解析】

(1)根据A、B、C三点的坐标可得AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，再利用三角形面积公式列式计算即可；

(2)设直线AB的表达式为y＝kx+b．将A(1，3)，B(5，1)代入，利用待定系数法即可求解；

(3)由于y＝kx+2是一次函数，所以k≠0，分两种情况进行讨论：①当k＞0时，求出y＝kx+2过A(1，3)时的k值；②当k＜0时，求出y＝kx+2过B(5，1)时的k值，进而求解即可；

(4)过C点作AB的平行线，交y轴于点P，根据两平行线间的距离相等，可知△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，面积相等．根据直线平移k值不变可设直线CP的解析式为y＝﹣x+n，将C点坐标代入，求出直线CP的解析式，得到P点坐标；再根据到一条直线距离相等的直线有两条，可得另外一个P点坐标．

解：(1)∵A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，C点坐标是(1，1)，

∴AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，

∴S△ABC＝ACBC＝×2×4＝4．

故答案为4；

(2)设直线AB的表达式为y＝kx+b．

∵A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，

∴，解得，

∴直线AB的表达式为y＝﹣x+；

(3)当k＞0时，y＝kx+2过A(1，3)时，

3＝k+2，解得k＝1，

∴一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，则0＜k≤1；

当k＜0时，y＝kx+2过B(5，1)，

1＝5k+2，解得k＝﹣，

∴一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，则﹣≤k＜0．

综上，满足条件的k的取值范围是0＜k≤1或﹣≤k＜0；

(4)过C点作AB的平行线，交y轴于点P，此时△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，所以面积相等．

设直线CP的解析式为y＝﹣x+n，

∵C点坐标是(1，1)，

∴1＝﹣+n，解得n＝，

∴直线CP的解析式为y＝﹣x+，

∴P(0，)．

设直线AB：y＝﹣x+交y轴于点D，则D(0，)．

将直线AB向上平移﹣＝2个单位，得到直线y＝﹣x+，与y轴交于点P′，此时△ABP′与△ABP是同底等高的两个三角形，所以△ABP与△ABC面积相等，易求P′(0，)．

综上所述，所求P点坐标是(0，)或(0，)．

故答案为(0，)或(0，)．