Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点N，连接BM，DN.

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求MD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）MD长为5．

【解析】

（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，即可列方程求得．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵在△DMO和△BNO中，

∠DMO＝∠BNO，∠MDO＝∠NBO，OB＝OD，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，

设MD长为x，则MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8-x）2+42，

解得：x=5，

答：MD长为5．

故答案为：（1）见解析；（2）MD长为5．