Question

【题目】如图，在平面坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（x，y）且满足（a+b）2+|a﹣b﹣4|＝0，y＝+2．

（1）求三角形ABC的面积；

（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE、DE平分∠CAB、∠ODB，如图，求∠AED的度数；

（3）在y轴上是否存在点P，①使得△ABC和△ACP的面积相等，若存在，求出P点的坐标：若不存在，请说明理由；②若△ACP的面积是△ABC面积的2018倍成立，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）S△ABC＝4；（2）∠AED＝45°；（3）存在．①P点坐标为（0，3）或（0，﹣1），②P点坐标为（0，4037）或（0，﹣4035），理由见解析.

【解析】

（1）根据非负数的性质得到a＝﹣b，a﹣b+4＝0，解得a＝﹣2，b＝2，再根据y＝+2，求出x＝2，y＝2，则A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积＝4；

（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB＝∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6＝90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED＝∠1+∠2＝×90°＝45°；

（3）先根据待点系数法确定直线AC的解析式为y＝x+1，则G点坐标为（0，1），即可得出PG＝|t﹣1|，

①利用S△PAC＝S△APG+S△CPG＝4进行计算，即可得出结论；

②利用S△PAC＝S△APG+S△CPG＝4×2018进行计算，即可得出结论．

（1）∵（a+b）2+|a﹣b+4|＝0，

∴a＝﹣b，a﹣b+4＝0，

∴a＝﹣2，b＝2，

∵y＝+2，

∴x＝2，y＝2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2）

∴CB⊥AB，

∴S△ABC＝×4×2＝4；

（2）如图1，∵CB∥y轴，BD∥AC，

∴∠CAB＝∠ABD，

∴∠3+∠4+∠5+∠6＝90°，

过E作EF∥AC，

∵BD∥AC，

∴BD∥AC∥EF，

∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，

∴∠AED＝∠1+∠2＝×90°＝45°；

（3）存在．理由如下：如图2，

设P点坐标为（0，t），直线AC的解析式为y＝kx+b，

把A（﹣2，0）、C（2，2）代入得 ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y＝x+1，

∴G点坐标为（0，1），

∴PG＝|t﹣1|，

①∵△ABC和△ACP的面积相等，

∴S△PAC＝S△APG+S△CPG＝|t﹣1|×2+|t﹣1|×2＝4，解得t＝3或t＝﹣1，

∴P点坐标为（0，3）或（0，﹣1），

②∵△ACP的面积是△ABC面积的2018倍，

∴S△PAC＝S△APG+S△CPG＝|t﹣1|×2+|t﹣1|×2＝4×2018，解得t＝4037或t＝﹣4035，

∴P点坐标为（0，4037）或（0，﹣4035），