Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC。

求证：（1）BC平分∠PBD；

（2）BC2=AB·BD。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）连接OC．可发现∠OCB和∠DBC同为∠DCB的余角，而∠OCB=∠OBC，由此可得∠OBC=∠DBC，即BC平分∠PBD；

（2）连接AC．证明△ABC∽△CBD即可．

【解答】证明：（1）连接OC．（1分）

∵PD切⊙O于点C，

又∵BD⊥PD，

∴OC∥BD．

∴∠1=∠3．（2分）

又∵OC=OB，

∴∠2=∠3．（3分）

∴∠1=∠2，即BC平分∠PBD．（4分）

（2）连接AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．（5分）

又∵BD⊥PD，

∴∠ACB=∠CDB=90°（6分）

又∵∠1=∠2，

∴△ABC∽△CBD；（7分）

∴，∴BC2=ABBD．（8分）