Question

【题目】如图，抛物线y=交x轴于点A、B，交y轴于点C，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，2）.

（1）求该抛物线的解析式。

（2）已知点P是抛物线上的一个动点，点N在x轴上。

①若点P在x轴上方，且△APN是等腰直角三角形，求点N的坐标；

②若点P在x轴下方，且△APN∽△BOC,请直接写出点N的坐标。

Answer 1

【答案】（1）y=；

（2）①点N的坐标是（2，0）或（5，0）；

②N的坐标为（5，0）或（6.5，0）或（8，0）或（44，0）．

【解析】

试题分析：（1）把A、C两点的坐标代入函数解析式，即可得到关于b，c的方程组，从而求得b，c的值，求得函数的解析式；

（2）①首先由点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上，得出点A不可能是直角顶点，那么当△APN是等腰直角三角形时，∠PAN=45°．作∠BAP=45°，AP交抛物线于点P，设点P坐标是（t，）．再分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点N是直角顶点时，过点P作⊥x轴于点，则=，依此列出方程=t+1，解方程求出N1的坐标；（Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作⊥AP，交x轴于点，则AP=，那么= =2-（-1）=3，则=2+3=5，的坐标可求；②先由抛物线解析式求出B点坐标，根据△BOC是直角三角形，得出△ANP也是直角三角形，由A点不可能是直角顶点，得出直角顶点可能是P点或N点．设点P坐标是（t，），则t+2＜0．再分两种情况进行讨论：（Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB=∠OBC．过P作⊥x轴于点N1，则∽△BOC，N1（t，0）．由∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N1的坐标；过点P作⊥AP，交x轴于点，则∽△BOC．由∽△，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点的坐标；（Ⅱ）在x轴下方作∠BAP=∠OCB，交抛物线于点P，过P作⊥x轴于点，则∽△COB，（t，0）．由∽△COB，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点的坐标；过点P作⊥AP，交x轴于点N4，则∽△COB．由∽，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N4的坐标.

试题解析：（1）∵抛物线y=过点A（-1，0），C（0，2），∴，解得，∴该抛物线的解析式是：y=；

（2）①∵点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上，∴点A不可能是直角顶点，则∠PAN=45°．如图，作∠BAP=45°，AP交抛物线于点P．设点P坐标是（t，）．

（Ⅰ）过点P作⊥x轴于点，则=，即-=t+1，解得=2， =-1（不合题意舍去），所以的坐标是（2，0）；

（Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作⊥AP，交x轴于点，则AP=，= =2-（-1）=3，则=2+3=5，所以的坐标是（5，0）；综上所述，点N的坐标是（2，0）或（5，0）；

②∵y=，∴当y=0时，=0，解得x=-1或4，∵A（-1，0），∴B（4，0），∴△BOC中，OB=4，OC=2，∠BOC=90°．∵△BOC是直角三角形，∴当△ANP与△BOC相似时，△ANP也是直角三角形，∵A点不可能是直角顶点，∴直角顶点可能是P点或N点．设点P坐标是（t，），则＜0．

（Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB=∠OBC．过P作⊥x轴于点，则∽△BOC，（t，0）．∵∽△BOC，∴=，∴===2，∴AN1=2N1P，即t+1=2（），解得=5，=-1（不合题意舍去），所以点P的坐标是（5，-3），点的坐标是（5，0）；过点P作⊥AP，交x轴于点，则∽△BOC．∵∽，∴，∴==1.5，∴==5+1.5=6.5，∴点的坐标是（6.5，0）；

（Ⅱ）在x轴下方作∠BAP=∠OCB，交抛物线于点P，过P作⊥x轴于点，则∽△COB，（t，0）．∵∽△COB，∴，∴=，∴，即=2（t+1），解得=8，=-1（不合题意舍去），所以点P的坐标是（8，-18），点的坐标是（8，0）；过点P作⊥AP，交x轴于点，则∽△COB．∵∽，∴，∴==36，∴=8+36=44，∴点的坐标是（44，0）；综上所述，所求点N的坐标为（5，0），（6.5，0），（8，0），（44，0）．