Question

【题目】如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．

（1）直接写出ED和EC的数量关系： ；
（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）填空：当BC= 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是 ．

Answer 1

【答案】
（1）ED=EC
（2）

DE是⊙O的切线．理由如下：

连接OD，如图，

∵BC为切线，

∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，

∵OC=OD，ED=EC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线；

（3）2；正方形
【解析】（1）连接CD，如图，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，
∵E是BC的中点，∴ED=EC=BE.
3）当BC=2 时， ∵CA=CB=2，
∴CE=DE=1 ， OC=OD=1，
又∵OC⊥CE，∴四边形 ODEC为正方形．
∴AO=DE=1，且 AO∥DE，∴四边形AOED是平行四边形．
（1）根据直径所对的圆周角是90度，可得CD⊥AB，由E是BC的中点，可得斜边上的中线等于斜边的一半；（2）根据等边对等角，通过角的等量代换可得∠ODE=90°；（3）要使四边形AOED是平行四边形，则对边相等且平行，即DE=OA=1，则BC=2DE=2，此时OC=OD=CE=DE=1，且OC⊥CE，则四边形ODEC为正方形.