Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段CM与CN的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴△ABD 是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD= ，∴AB=1，

∴正方形ABCD的边长为1．

（2）

解：CN= CM.

证明如下：∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，

∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，

∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，

在△ABF 和△CBN 中，

∴△ABF≌△CBN（ASA），∴AF=CN，

∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，

∴△ABF~△COM，

∴ ，∴ ，

即CN= CM.

【解析】（1）由正方形的性质易得2AB2=BD2 ， 而BD已知，即可解出AB；（2）根据“ASA”，证明△ABF≌△CBN，则AF=CN；再证明△ABF~△COM，则 ，即 .