Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且．连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．

图1 图2

（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到，连接，如图1所示．

由≌可以证得是等边三角形，再由可得∠APC的大小为 度，进而得到是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为 ；

（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；

（3）PA，PB，PC满足的等量关系为 ．

Answer 1

【答案】（1）150， （2）证明见解析（3）

【解析】试题分析：（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC＝90°，根据勾股定理解答即可；

（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′＝PA，根据勾股定理解答即可；

（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．

试题解析：

解：（1）∵△ABP≌△ACP′，

∴AP＝AP′，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，

∴△PAP′为等边三角形，

∴∠APP′＝60°，

∵∠PAC＋∠PCA＝×60° ＝30°，

∴∠APC＝150°，

∴∠P′PC＝90°，

∴PP′2＋PC2＝P′C2，

∴PA2＋PC2＝PB2，

故答案为：150，PA2＋PC2＝PB2；

（2）如图，作°，使，连接， ．过点A作AD⊥于D点．

∵°，

即，

∴．

∵AB＝AC， ，

∴.

∴， °．

∵AD⊥，

∴°.

∴在Rt 中， .

∴．

∵°，

∴°.

∴°．

∴在Rt 中， .

∴；

（3）如图2，与（2）的方法类似，

作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，

∴∠APP′＝90°－，

∵∠PAC＋∠PCA＝，

∴∠APC＝180°－，

∴∠P′PC＝（180°－）－（90°－）＝90°，

∴PP′2＋PC2＝P′C2，

∵∠APP′＝90°－，

∴PD＝PAcos（90°－）＝PAsin，

∴PP′＝2PAsin，

∴4PA2sin2＋PC2＝PB2，

故答案为：4PA2sin2＋PC2＝PB2．