Question

【题目】定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB，△PBC，△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．

在平面直角坐标系xOy中，

（1）点A坐标为(， )， AB⊥x轴于B点，在E(2，1)，F (， )，G (， )，这三个点中，其中是△AOB的自相似点的是 （填字母）；

（2）若点M是曲线C： （， ）上的一个动点，N为x轴正半轴上一个动点；

图2

① 如图2， ，M点横坐标为3，且NM = NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；

②若，点N为(2，0)，且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

Answer 1

【答案】（1）F，G（2）①或②4

【解析】试题分析：（1）如图，连接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．只要证明△OBG∽△OAB，可得点G是自相似点，△FOB∽△BAO，可得点F是自相似点．

（2）①如图1，过点M作MH⊥x轴于H点．将M的横坐标代入反比例函数解析式求出点M的坐标和OM的长，进而求出直线OM的解析式．在Rt△MHN中，根据勾股定理求出ON＝MN＝m＝2．如图2， ∽，过点作⊥x轴于Q点，由相似的性质得出， ．得出P1的横坐标为1，代入OM解析式求出即可求出P1的坐标；如图3， ，根据相似三角形的性质求出P2N的长，进而可得P2的坐标．

②以O为圆心2为半径作圆交反比例函数于M1，M2，以N为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于M3，M4．满足条件的点M有4个．

试题解析：

解：（1）如图中，连接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．

由题意可知点G在OA上，

∵tan∠AOB＝＝，

∴∠AOB＝60°，

∵tan∠GBM＝＝＝，

∴∠OBG＝30°，

∴∠BOG＝∠AOB，∠OBG＝∠A，

∴△OBG∽△OAB，

∴点G是自相似点，

同理可得∠FON＝∠A＝30°，∠FBO＝∠AOB＝60°，

∴△FOB∽△BAO，

∴点F是自相似点，

span>故答案为F，G；

（2）①如图1，过点M作MH⊥x轴于H点．

∵M点的横坐标为3，

∴.

∴.

∴，直线OM的表达式为．

∵MH⊥x轴，

∴在Rt△MHN中， °，．

设NM＝NO＝m，则.

∴.

∴ON＝MN＝m＝2．

如图2， ∽，过点作⊥x轴于Q点，

∴， ．

∵的横坐标为1，

∴.

∴．

如图3， ，

∴.

∴．

∵的纵坐标为，

∴.

∴.

∴．

综上所述， 或．

②以O为圆心2为半径作圆交反比例函数于M1，M2，以N为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于M3，M4．满足条件的点M有4个．

故答案为4．