Question

【题目】如图1，等腰△ABC中，AC=BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF=DO+OP；

（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC=，CG=4，求OP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析： 连接OC． 得到 得出即可证明AC是的切线.

如图2中，连接OC，首先证明再证明点P在以F为圆心FC为半径的圆上，即可解决问题；

在中，利用 求出根据勾股定理求得 在Rt 中，根据勾股定理得， 利用中的结论即可求出的长度.

试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC．

∵

∴

∵

∴

∴

∵点D是的中点，

∴=,

∴

∴

∴

∴

∴AC是的切线，

（2）证明：如图2中，连接OC，

∵

∴

∴EF垂直平分HC，

∴

∵

∵

∴

∵

∴

∴点P在以F为圆心FC为半径的圆上，

∴

∵

∴

即

（3）如图3，连接CO并延长交于M，连接，

∴

∵于G，

在中，

∴

∴

∴

∴

∵

∴OG∥MH，

∵

∴

∴

在Rt 中，根据勾股定理得，

由（2）知，