Question

【题目】如图，将矩形纸片ABCD分别沿AE、CF折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，下列说法：①四边形AECF为菱形，②∠AEC=120°，③若AB=2，则四边形AECF的面积为，④AB：BC=1:2，其中正确的说法有_____.（只填写序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据折叠性质可得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，即可得出∠ACB=30°，进而可得∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，可证明

AE//CF，AE=CE，根据矩形性质可得CE//AF，即可得四边形AECF是平行四边形，进而可得四边形AECF为菱形，由∠BAE=30°，可得∠AEB=60°，即可得∠AEC=120°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，即可得OE的长，根据菱形的面积公式即可求出四边形AECF的面积，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AB：BC的值，综上即可得答案.

∵矩形ABCD分别沿AE、CF折叠，B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，

∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，

∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，

∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，

∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，

∴AE//CF，AE=CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE=CE，

∴四边形AECF是菱形，故①正确，

∵∠BAE=30°，∠B=90°，

∴∠AEB=60°，

∴∠AEC=120°，故②正确，

设BE=x，

∵∠BAE=30°，

∴AE=2x，

∴x2+22=(2x)2，

解得：x=，

∴OE=BE=，

∴S菱形AECF=EFAC=××4=，故③正确，

∵∠ACB=30°，

∴AC=2AB，

∴BC==AB，

∴AB：BC=1：，故④错误，

综上所述：正确的结论有①②③，

故答案为：①②③