Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，E为AD边上一动点（不与点A重合），AF⊥BE，垂足为F，GF⊥CF，交AB于点G，连接EG．设AE=x，S△BEG=y．

（1）证明：△AFG∽△BFC；

（2）求y与x的函数关系式，并求出y的最大值；

（3）若△BFC为等腰三角形，请直接写出x的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2y与x的函数关系式为，y的最大值为；

（3）x的值为， 或．

【解析】试题分析：（1）分别证明∠GAF=∠FBC，∠AFG=∠CFB即可证明△AFG∽△BFC；

（2）先求出AG= ，再求出BG=5- ，利用三角形面积公式即可得出y与x的函数关系式，从而求出结果；

（3）分情况进行讨论即可得解.

试题解析：（1）证明：在矩形ABCD中，∠ABC=90°．

∴∠ABF+∠FBC=90°．

∵AF⊥BE，

∴∠AFB=90°．

∴∠ABF+∠GAF=90°．

∴∠GAF=∠FBC．

∵FG⊥FC，

∴∠GFC=90°．

∴∠ABF=∠GFC．

∴∠ABF-∠GFB =∠GFC-∠GFB．

即∠AFG=∠CFB．

∴△AFG∽△BFC；

（2）由（1）得△AFG∽△BFC，

∴．

在Rt△ABF中，tan∠ADF=，

在Rt△EAB中，tan∠EBA=，

∴．

∴．

∵BC=AD=4，AB=5，

∴．

∴BG=AB-AG=5- ．

∴．

∴y的最大值为；

（3）x的值为， 或．