Question

【题目】如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4 ， 给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1 ， 则S4=2S2；④若S1=S2 ， 则P点在矩形的对角线上．
其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

【答案】②和④
【解析】解：如右图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E， ∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S1+S3= 矩形ABCD面积；
同理可得出S2+S4= 矩形ABCD面积；
∴S2+S4=S1+S3（故②正确）；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，S1+S2=S3+S4 ． 但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．（故①不一定正确）；
③若S3=2S1 ， 只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；（故③错误）；
④若S1=S2 ， ×PF×AD= PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为： = ，
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，
∴ = ，
∴P点在矩形的对角线上．（故④选项正确）
故答案为：②和④．

根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3= 矩形ABCD面积，以及 = ， = ，即可得出P点一定在AC上．