Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）连接BC交x轴于点F．试在y轴负半轴上找一点P，使得△POC∽△BOF．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0），

将点A（﹣2，0）、B（﹣3，3）、0（0，0），

代入可得：

解得：a=1，b=2，c=0，

所以抛物线的解析式为y=x2+2x

（2）解：如图，

∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，

∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣1）．

∵B（﹣3，3），

∴tan∠BOF= =1，tan∠POC= =1，

∴∠BOF=45°，∠POC=45°．

∴∠POC=∠BOF，

∴∠POC=45°=∠BOF，

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵直线经过点B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1），

∴

解得：k=﹣2，b=﹣3，

∴直线BC解析式为y=﹣2x﹣3，

令y=0，得x=﹣ ，

因此，点F（﹣ ，0），

∴OF= ，OB= =3 ，

OC= = ，

∵∠POC=∠BOF，

∴当 = 时，△POC∽△BOF，

代入求出OP=4，

即当P点的坐标为（0，﹣4）时，△POC∽△BOF．

【解析】（1）抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0），把A、B、C的坐标代入求出即可；（2）求出∠BOF=∠POC，求出OB、OF、OC的长，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【考点精析】掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．