Question

【题目】如图，有一块分别均匀的等腰三角形蛋糕（AB=AC且AB≠BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．

（1）小明很快就想到了一条经过点A分割直线，请你用尺规作图在图1中画出这条“等分积周线（不写画法）．
（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图2中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？请说明理由．
（3）若AB=BC=5，BC=6，请你通过计算，在图3中找出△ABC不经过顶点的一条“等分积周线”．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作线段BC的中垂线AM，如图1所示．

∵AM是BC的中垂线，

∴BM=CM，

∴S△ABM=S△ACM，

∵AB=AC，

∴AB+BM=AC+CM．

∴直线AM是△ABC的等分积周线

（2）

解：小华不会成功．

若直线CD平分△ABC的面积，过点C作CE⊥AB于点E，如图2所示．

由S△ACD=S△BCD，得 ADCE= BDCE，于是BD=AD．

∵AC≠BC，

∴AD+AC≠BD+BC，

所以小华不会成功

（3）

解：设直线EF与AB、BC分别交于点E、F，直线EF符合条件，如图3所示．

作EG⊥BC于点G，AH⊥BC于点H，得BH=CH=3，AH=4，S△ABC=12．

设BF=x，则BE= （AB+AC+BC）﹣BF=8﹣x．

∵EG∥AH，

∴△BEG∽△BAH，

∴ ，

∴ = ，于是EG= （8﹣x）

∵S△EBF= S△ABC，

∴ x （8﹣x）=6

解得 x=3（舍去，因此时EF过点A）或x=5

∴BF=5，BE=3．

∴直线EF符合条件

【解析】（1）作线段BC的中垂线即可．（2）小华不会成功．如图2所示．假设直线CD平分△ABC的面积，过点C作CE⊥AB于点E，再证明AD+AC≠BD+BC即可．（3）如图3所示，设直线EF与AB、BC分别交于点E、F，直线EF符合条件，作EG⊥BC于点G，AH⊥BC于点H，得BH=CH=3，AH=4，S△ABC=12，设BF=x，则BE= （AB+AC+BC）﹣BF=8﹣x，由△BEG∽△BAH，得 ，求出EG，利用面积列出方程即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．