Question

【题目】如图1，已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形，点P为边BC上任意一点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．

（1）那么∠MPN=______，并求证PM+PN=3a；

（2）如图2，联结OM、ON．求证：OM=ON；

（3）如图3，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

【答案】60°；

【解析】（1）由∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC即可得出∠MPN的度数；作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解；

（2）由SAS证明△OMA≌△ONE，得出对应边相等即可；

（3）由△OMA≌△ONE得出∠MOA=∠EON，再证出△GOE≌△NOD，得出OG=ON，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形即可得出四边形MONG是菱形．

（1）解：∵△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形

∴六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，

∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°

又∴PM∥AB，PN∥CD，

∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，

∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，

故答案为：60°；

作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，如图所示：

MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN

∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，

∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，

∴GM=AM，HP=BP，PL=PC，NK=ND，

∵AM=BP，PC=DN，

∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，

∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．

（2）证明：由（1）得：六边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，

∴AM=BP=EN，

∵∠MAO=∠OEN=60°，OA=OE，

在△OMA和△ONE中，

，

∴△OMA≌△ONE（SAS）

∴OM=ON．

（3）解：四边形MONG是菱形；理由如下：

由（2）得，△OMA≌△ONE，

∴∠MOA=∠EON，

∵EF∥AO，AF∥OE，

∴四边形AOEF是平行四边形，

∴∠AFE=∠AOE=120°，

∴∠MON=120°，

∴∠GON=60°，

∵∠GOE=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，

∴∠GOE=∠DON，

∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，

在△GOE和△DON中，

，

∴△GOE≌△NOD（ASA），

∴OG=ON，

又∵∠GON=60°，

∴△ONG是等边三角形，

∴ON=NG，

又∵OM=ON，∠MOG=60°，

∴△MOG是等边三角形，

∴MG=GO=MO，

∴MO=ON=NG=MG，

∴四边形MONG是菱形．

“点睛”本题是四边形的综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要多次证明三角形全等和等边三角形才能得出结论．