Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2 ．

Answer 1

【答案】证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD﹣BE=CE﹣CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE= BC，
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2 ，
AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2 ，
AD2=AE2+ED2 ，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2﹣BE2+（BD﹣BE）2+AC2﹣CE2+（CE﹣CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2﹣2BD×BE﹣2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2﹣2× BC×BC
=BD2+CD2 ，
即：BD2+CD2=2AD2
【解析】作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2 ， 只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2 ， AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2 ， ED=BD﹣BE=CE﹣CD，代入求出三者之间的关系即可得证．