Question

【题目】已知：抛物线y=x2+（b﹣1）x﹣5．
（1）写出抛物线的开口方向和它与y轴交点的坐标；
（2）若抛物线的对称轴为直线x=1，求b的值，并画出抛物线的草图（不必列表）；
（3）如图，若b＞3，过抛物线上一点P（﹣1，c）作直线PA⊥y轴，垂足为A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=1＞0，

∴抛物线开口向上，

当x=0时，y=02+（b﹣1）×0﹣5=﹣5，

∴它与y轴的交点坐标为（0，﹣5）

（2）

解：抛物线的对称轴为x=1，

∴﹣ =﹣ =1，

解得b=﹣1，

故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣5；

图象如下：

（3）

解：∵b＞3，

∴抛物线的对称轴x=﹣ =﹣ ＜﹣1，

∴对称轴在点P的左侧，

∵直线PA⊥y轴，且P（﹣1，c），BP=2PA，

∴点B的坐标为（﹣3，c），

把点B（﹣3，c）、P（﹣1，c）代入抛物线解析式y=x2+（b﹣1）x﹣5得，

，

解得 ，

∴抛物线所对应的二次函数解析式为y=x2+4x﹣5；

[或：∵点B（﹣3，c）、P（﹣1，c），

∴BP的中点（﹣2，c）在抛物线的对称轴上，

∴﹣ =﹣ =﹣2，解得b=5．]

【解析】（1）根据a值大于0，判断抛物线的开口向上，令x=0求出函数值y，就是抛物线与y轴的交点坐标；（2）根据对称轴解析式列式求出b的值，从而得到抛物线解析式，再根据抛物线与坐标轴的交点与顶点坐标作出草图即可；（3）先根据b＞3判断出点P在对称轴的左侧，然后根据BP=2PA求出点B的坐标，然后把点P、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求出b、c的值，即可写出该抛物线对应的二次函数解析式．[或者根据点BP的中点在抛物线的对称轴上，利用对称轴解析式列式进行计算求解b的值．]
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．