Question

【题目】如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧 上的一个动点，弦AB，CP相交于点D．

（1）求∠APB的大小；
（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；
（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵∠APB+∠ACB=180°，

∴∠APB=120°

（2）解：当点P运动到 的中点时，PD⊥AB，

如图1，连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP=2r，

又∵⊙O为等边△ABC的外接圆，

∴∠OAB=30°，

在Rt△OAD中，

∵OD= OA= ，

∴CD= +r= ，

∴CD：CP= ：2r=3：4

（3）解：PC=AP+PB

证明：方法一：

如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ=PB，连接BQ，

∵∠APB=120°，

∴∠BPQ=60°，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PB=BQ，

∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，

∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP，

∴∠ABQ=∠CBP，

在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB，

∴△ABQ≌△CBP，

∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；

方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM，

∵∠CPB=60°，

∴△PBM是等边三角形，

∵∠CMB=120°，

∴∠CMB=∠APB，

∴△APB≌△CMB，

∴PC=AP+PB；

方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，

先证△APN是等边三角形，再证△ANC≌△APB，

从而PC=AP+PB．

【解析】（1）先根据题意判断出△ABC是等边三角形，再根据圆内接四边形对角互补的性质可知∠APB+∠ACB=180°，进而可得出结论；（2）连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP=2r，根据⊙O为等边△ABC的外接圆可求出∠OAB=30°，再根据直角三角形的性质可用r表示出OD，CD的值，进而得出结论；（3）在AP的延长线上取点Q，使PQ=PB，连接BQ，可判断出△BPQ是等边三角形，再根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性质即可得出结论．