Question

【题目】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣3x﹣8，

∵y= x2﹣3x﹣8= （x﹣3）2﹣ ，

∴抛物线对称轴为直线x=3，

又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），

∴点B坐标（8，0）．

设直线l的解析式为y=kx，

∵经过点D（6，﹣8），

∴6k=﹣8，

∴k=﹣ ，

∴直线l的解析式为y=﹣ x，

∵点E为直线l与抛物线的交点，

∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣ ×3=﹣4，

∴点E坐标（3，﹣4）

（2）解：抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，

此时点F纵坐标为﹣4，

∴ x2﹣3x﹣8=﹣4，

∴x2﹣6x﹣8=0，

x=3 ，

∴点F坐标（3+ ，﹣4）或（3﹣ ，﹣4）

（3）解：①如图1

中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．

∵点E坐标（3，﹣4），

∴OE= =5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则 = ，

∴OM=OE=5，

∴点M坐标（0，﹣5）．

设直线ME的解析式为y=k1x﹣5，

∴3k1﹣5=﹣4，

∴k1= ，

∴直线ME解析式为y= x﹣5，

令y=0，得 x﹣5=0，解得x=15，

∴点H坐标（15，0），

∵MH∥PB，

∴ = ，即 = ，

∴m=﹣ ，

②如图2

中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．

∵当x=0时，y= x2﹣3x﹣8=﹣8，

∴点C坐标（0，﹣8），

∴CE= =5，

∴OE=CE，

∴∠1=∠2，

∵QO=QP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴CE∥PB，

设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x﹣8，

∴3k2﹣8=﹣4，

∴k2= ，

∴直线CE解析式为y= x﹣8，

令y=0，得 x﹣8=0，

∴x=6，

∴点N坐标（6，0），

∵CN∥PB，

∴ = ，

∴ = ，

∴m=﹣ ．

③OP=PQ时，显然不可能，理由，

∵D（6，﹣8），

∴∠1＜∠BOD，

∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，

∴∠PQO＞∠1，

∴OP≠PQ，

综上所述，当m=﹣ 或﹣ 时，△OPQ是等腰三角形

【解析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，令y=﹣4即可解决问题．（3））①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．