Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ： =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE CP的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：PD与⊙O相切．理由如下：

连接OP，

∵∠ACP=60°，

∴∠AOP=120°，

而OA=OP，

∴∠PAO=∠APO=30°，

∵PA=PD，

∴∠D=∠PAD=30°，

∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，

∴∠OPD=120°﹣30°=90°，

∵OP为半径，

∴PD是⊙O的切线；

（2）解：连BC，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵ ： =1：2，

∴∠ABC=2∠BAC，

∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，

而∠PAE=30°，

∴∠APE=∠DPE=60°，

∴AE垂直平分PC，如图，

设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，

∴AE=AB﹣BE=3x，

∵PA=PD，PE⊥AD，

∴AE=DE，

∴DB=3x﹣x=2x，

∴AE：EB：BD的值为3：1：2

（3）解：如图，连接OC，

∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，

∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，

而∠ACE=∠PCA，

∴△ACE∽△PCA，

∴ ，即AC2=PC CE，

∵A02+OC2=AC2=8，

∴PC CE=AC2=8．

【解析】（1）连接OP，利用圆周角定理可求出∠AOP=120°，进而可得∠PAO=∠APO=30°，再利用等腰三角形的性质可求出∠D=30°，进而可得∠OPD=90°，从而得证；
（2）连BC，由AB为直径可得∠ACB=90°，再由已知可得∠BAC=30°，∠ABC=60°，从而得出AE垂直平分PC，设BE=x，在Rt△BCE和Rt△ABC中，利用直角三角形的性质可得答案；
（3）连接OC，由圆周角定理可得∠CAB=∠APC，OC⊥AB，从而证出△ACE∽△PCA，由相似三角形的性质可得AC2=PC CE，又由勾股定理可求出AC2，进而求出答案.