Question

【题目】如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC，CD于点E，F．

（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC，CF与BC的数量关系；
②在顶点G的运动过程中，若 =t，请直接写出线段EC，CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；

（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF= ，当t＞2时，求EC的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，∠B=∠ACF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△BAE和△CAF中， ，

∴△ABE≌△ACF，

∴AE=AF，∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∵CE=CM，∠ECM=60°，

∴△ECM是等边三角形，

∴∠AEF=∠MEC=60°，AE=EF，EM=EC，

∴∠AEM=∠FEC，

在△AEM和△FEC中，

，

∴△AEM≌△FEC，

∴AM=CF，

∴BC=AC=AM+CM=EC+CF

（2）解：①结论：EC+CF= BC．

理由：如图3中，取BC中点P，CD中点Q，连接PG、GQ．

∵AG=GC，CPB，CQ=DQ，

∴PG∥AB，GQ∥QD，

∴∠CPG=∠B=60°，∠CGP=∠CAB=60°，

∴△CPG是等边三角形，同理可证△CQG是等边三角形，

由（1）可知，CE+CF=PC= BC．

②结论：CE+CF= ．

理由：如图4中，作GP∥AB交BC于P，GQ∥AD交CD于Q．

∴PG∥AB，GQ∥QD，

∴∠CPG=∠B=60°，∠CGP=∠CAB=60°，

∴△CPG是等边三角形，同理可证△CQG是等边三角形，

由（1）可知，CE+CF=PC=CG，

∵AC=BC=tCG，

∴CE+CF=

（3）如图4中，作BM⊥AC于M．

∵t＞2，

∴点G在线段CM上，

在Rt△ABM中，∵∠BMC=90°，BM= ×8=4 ，BG=7，

∴MG= = =1，

∵CM=MA=4，

∴CG=CM﹣MG=3，

由（1）可知，CG=CE+CF，

∴CE=CG﹣CF=3﹣ =

【解析】（1）如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．首先证明△ABE≌△ACF，再证明△AEM≌△FEC，即可解决问题．（2）①结论：EC+CF= BC．如图3中，取BC中点P，CD中点Q，连接PG、GQ．利用（1）的结论解决问题．②结论：CE+CF= ．如图4中，作GP∥AB交BC于P，GQ∥AD交CD于Q．利用（1）的结论解决问题．（3）如图4中，作BM⊥AC于M．利用（1）的结论：CG=CE+CF，求出CE即可解决问题．
【考点精析】掌握全等三角形的性质和菱形的性质是解答本题的根本，需要知道全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．