Question

【题目】正方形ABCD中，点M是直线BC上的一个动点（不与点B，C重合），作射线DM，过点B作BN⊥DM于点N，连接CN．

（1）如图1，当点M在BC上时，如果∠CDM=25°，那么∠MBN的度数是 ．

（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，

①依题意补全图2；

②用等式表示线段NB，NC和ND之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②，见解析.

【解析】

（1）由正方形的性质和对顶角相等、三角形内角和定理得出∠MBN=∠CDM=25°即可；

（2）①由题意补全图形即可；

②当N在DM上时，在NB上截取BE=ND，证明△CDN≌△CBE得出NC=EC，∠DCN=∠BCE，证出∠NCE=∠BCD=90°，得出△NCE是等腰直角三角形，得出NE=NC，即可得出结论；

当N在MD延长线上时，延长NB至E，使BE=ND，同理得：△CDN≌△CBE，得出NC=EC，∠DCN=∠BCE，证出∠NCE=∠BCD=90°，得出△NCE是等腰直角三角形，证出NE=NC，即可得出结论．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠DCM=∠BCD=90°，

∵BN⊥DM，

∴∠DNB=90°=∠BCD，

∵∠BMN=∠DMC，

∴∠MBN=∠CDM=25°；

故答案为：25°；

（2）①由题意补全图形如图2、图4所示；

②线段NB，NC和ND之间的数量关系为：NB=ND+NC，或NC=NB+ND．

理由如下：

当N在DM上时，在NB上截取BE=ND，

∵∠MCD=∠BNM=90°，

∴∠DMC+∠CDN=∠DMC+∠CBE=90°，

∴∠CDN=∠CBE，

在△CDN和△CBE中，

，

∴△CDN≌△CBE（SAS），

∴NC=EC，∠DCN=∠BCE，

∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，

∴△NCE是等腰直角三角形，

∴NE=NC，

∴NB=BE+NE=ND+NC；

当N在MD延长线上时，延长NB至E，使BE=ND，

同理得：△CDN≌△CBE，

∴NC=EC，∠DCN=∠BCE，

∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，

∴△NCE是等腰直角三角形，

∴NE=NC，

∵NE=NB+BE，

∴NC=NB+ND．