【题目】如图甲，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC8 cm，BC6 cm，∠C90°，EG4 cm，∠EGF90°，O是△EFG斜边上的中点. 如图乙，若整个△EFG从图甲的位置出发，以1 cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1 cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移. 设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（提示：不考虑点P与G、F重合的情况）.

（1）当x为何值时，OP∥AC?

（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.

参考答案：

【答案】（1）当x为1.5 s时，OP∥AC；（2）+3 (0<x<3)；（3）x1=

【解析】分析：（1）由于O是EF中点，因此当P为FG的中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．
（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据S四边形OAHP=S△AFHS△OFP, 中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．中，过点O作OD⊥FP，垂足为D.PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．
（3）先求出四边形OAHP面积与△ABC，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．

详解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴.

∴FG==3 cm.

∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC，

∴OP∥AC.

∴x=×3=1.5(s).

∴当x为1.5 s时，OP∥AC.

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5 cm.

∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH.

∴，即.

∴AH=(x+5)，FH=(x+5).

过点O作OD⊥FP，垂足为D.

∵点O为EF中点，∴OD=EG=2 cm.

∵FP=，

∴S四边形OAHP=S△AFHS△OFP AH·FH OD·FP

=× (x+5) × (x+5) ×2×(3x)

=+3 (0<x<3).

（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24，

则S四边形OAHP ×S△ABC.

∴××6×8.

∴6x285x2500.

解得x1=，x2= (舍去).

当x=（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24．

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