Question

【题目】如图 ，在正的内部，作， ， ， 两两相交于， ， 三点 （， ， 三点不重合）．

（）， ， 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（）是否为正三角形？请说明理由．

（）进一步探究发现， 的三边存在一定的等量关系，设， ， ，请探索， ， 满足的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）全等；（2）是正三角形；（3）．

【解析】试题分析：（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；

（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；

（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．

试题解析：解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF．理由如下：

∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC．∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，∴∠ABD=∠BCE．在△ABD和△BCE中，∵∠1=∠2，AB=BC，∠ABD=∠BCE，∴△ABD≌△BCE（ASA）；

（2）△DEF是正三角形．理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，∴△DEF是正三角形；

（3）作AG⊥BD于G，如图所示，∵△DEF是正三角形，∴∠ADG=60°．在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中， ，∴ ．