Question

【题目】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕， （如图①），点为其交点．

（）探求到的数量关系，并说明理由．

（）如图②，若， 分别为， 上的动点．

①当的长度取得最小值时，求的长度．

②如图③，若点在线段上， ，则的最小值__________．

Answer 1

【答案】（）；（）①；②最小值为．

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN的长，于是得到结论；

（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．

试题解析：解：（1）AO=2OD．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB．∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；

（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值．∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′．∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN=BD=．∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；

（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，∴∠D′BQ′=90°．在Rt△D′BQ′中，D′Q′==，∴QN+NP+PD的最小值=，故答案为： ．