Question

【题目】已知：二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．

（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；

（2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；

（3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求点P的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（3）P点的横坐标为﹣2或．

【解析】分析：根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；当x=0时，y=4，可求点C的坐标为(0,4)，，根据三角形面积公式可求进一步得到A点和B点的坐标分别为(4,0),(2,0).待定系数法可求二次函数的解析式.

则分和两种情况讨论即可.

过D作轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时,②当点P在直线AD的上方时.分别求解.

详解：（1）该二次函数的对称轴是：直线

当x=0时，y=4，

∴点C的坐标为(0,4)，

∴

连接

∵

又∵点A，B关于直线x=1对称，

∴A点和B点的坐标分别为(4,0),(2,0).

∴4a+4a4=0,解得

∴所求二次函数的解析式为

（2）如图1，∵

且

分两种情况：

①当时，

∴

即或

②当时，

∴

即或

综上所述，点D的坐标为或或或；

（3）如图2，过D作轴于F，分两种情况：

①当点P在直线AD的下方时，如图所示:

由(1)得点A(4,0),点D(2,1)，

∴DF=1，AF=2.

在Rt△ADF中,得

延长DF与抛物线交于点,则点为所求,

∴点的坐标为(2,4).

②当点P在直线AD的上方时,延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示.

可证△GHA≌△P1FA.

∴HA=AF,GH=P1F,GA=P1A.

又∵A(4,0),P1(2,4)，

∴点G的坐标是(6,4).

易得DG的解析式为：

在中，

∴

∴

∴

∴

∴

∴

设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求，设

代入DG的解析式中，

解得

∵P2 点在第二象限，

∴P2点的横坐标为（舍正）

综上，P点的横坐标为或．