Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OD、CD，

∵AC为⊙O的直径，

∴△BCD是直角三角形，

∵E为BC的中点，

∴BE=CE=DE，

∴∠CDE=∠DCE，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCD+∠DCE=90°，

∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线

（2）解：设⊙O的半径为r，

∵∠ODF=90°，

∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，

解得：r=3，

∴⊙O的直径为6

【解析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2 ， 即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．