Question

【题目】如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为t s．
（1）求PQ的长；
（2）当直线AB与⊙O相切时，求证：AB⊥PN；
（3）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，连接OQ，

∵PN与⊙O相切于点Q，

∴OQ⊥PN，

∴∠OQP=90°，

∵OQ=6cm，OP=10cm，

∴PQ= = =8

（2）解：如图2中，过点O作OC⊥AB于C．

由题意，PA=5t，PB=4t，

∵OP=10，PQ=8，

∴ = ，∵∠P=∠P，

∴△PBA∽△PQO，

∴∠PBA=∠PQO=90°，

∴AB⊥PN

（3）解：∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，

∴四边形OCBQ是矩形，

∴BQ=OC=6，

∵OC=6cm，

∴BQ=6cm．

①当AB运动到图2位置时，BQ=PQ﹣PB=6，

∴8﹣4t=6，

∴t=0.5s，

②当AB运动到图3位置时，

BQ=AB﹣PQ=6，

∴4t﹣8=6，

∴t=3.5s，

综上所述，t=0.5s或3.5s时，直线AB与⊙O相切

【解析】（1）连接OQ，在Rt△OPQ中，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，过点O作OC⊥AB于C．只要证明△PBA∽△PQO，即可推出∠PBA=∠PQO=90°．（3）首先证明四边形OCBQ是矩形，分两种情形列出方程即可解决问题．