Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0， ）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0， ），

∴设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）（x+1）1），

则 =a×（﹣5）×1，解得a=﹣ ．

则抛物线的解析式是y=﹣ （x﹣5）（x+1）=﹣ x2+2x+

（2）

解：存在．

当点A为直角顶点时，过A作AP⊥AC交抛物线于点P，交y轴于点H，如图．

∵AC⊥AP，OC⊥OA，

∴△OAC∽△OHA，

∴ = ，

∴OA2=OCOH，

∵OA=5，OC= ，

∴OH=10，

∴H（0，﹣10），A（5，0），

∴直线AP的解析式为y=2x﹣10，

联立 ，

∴P的坐标是（﹣5，﹣20）．

（3）

解：∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，

∴四边形OFDE为矩形，

∴EF=OD，

∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，

当OD⊥AC时，OD长度最小，

此时S△AOC= ACOD= OAOC，

∵A（5，0），C（0， ），

∴AC= ，

∴OD= ，

∵DE⊥y轴，OD⊥AC，

∴△ODE∽△OCD，

∴ = ，

∴OD2=OECO，

∵CO= ，OD= ，

∴OE=2，

∴点G的纵坐标为2，

∴y=﹣ x2+2x+ =2，

解得x1=2﹣ ，x2=2+ ，

∴点G的坐标为（2﹣ ，2）或（2+ ，2）．

【解析】（1）运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）以A为直角顶点，根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．