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高中数学分层教学的实践与体会
1． 问题的提出
随着素质教育的实施，培养全面发展的合格人才的呼声越来越高。中学教育是基础教育，中学阶段所学的知识也属于基础知识，因此，要求学生掌握中学阶段的内容显得极为重要。在我国现有的国情下，既要实施素质教育，同时又不能回避学生的升学问题，这是摆在广大教育工作者面前的一个尖锐的矛盾。在高中数学学习中，两级分化的问题极为突出，要改变这种状况，因材施教显得极为必要。然而，因材施教一直是一个喊得很时髦的口号，鉴于各种主观及客观的原因，不少教师的因材施教只是停留在口头上，并没有落到实处。对学生进行分层教学，是使全体学生共同进步的一个有效措施，也是使因材施教落到实处的一种有效的方式。
2． 分层教学的实施
根据学生的个性差异及接受能力不同的特点，笔者近年来在教学中采用了分层教学的教改实验，收到了较好的教学效果。要对学生进行分层教学，必须做好以下几个方面的工作。
2.1对学生进行分组
要对学生进行分层教学，教师首先必须对每个学生的学习现状了然于胸，这样才能在教学中有的放矢。我在接手一个新班的时候，便用一套难易适中的题目对所教班级进行测验，然后按照学生的测验成绩将各班的学生按照学习成绩分为A、B、C三个学习小组，其中A组为最基础的小组，B组为中等成绩组，C组为成绩优秀组。为保护学生的自尊心，在分组的过程中一定要避免使用差生这样的词语，我在分组时便是这样对学生讲的，A组为基础组，B组为提高组，C组为竞赛组，同时我还用了另一种说法，就是A组为铜牌组，B组为银牌组，C组为金牌组。这样学生即使分在了A组也不会有什么自卑感。同时我对学生说，我们的分组只是暂时的，每一次测验我们都会对学生进行重新分组，并且在学习中途学生可以按照自己的情况参加高一级小组的学习。
2.2分层备课
对学生进行分组后，教师在备课时便应根据学生的实际情况进行分层备课，在备课的过程中，对A、B、C组的同学分别提出不同的要求，这必须在备课时体现出来。这样在实际的教学中才能做到有的放矢，不至于使分层教学留于形式。哪些内容对各个组是必须掌握的，哪些内容是只作了解的，对不同小组在作业上有些什么不同的要求等，这些都必须在备课时充分考虑。
2.3分层授课
进行分层教学中极为重要的一个环节便是对学生实行分层授课。在实际的操作过程中，有点象复式教学。限于客观条件，不可能在同一堂课里将不同组的学生在不同的课室上课，因此，课堂教学时如何进行便是一个问题。以高二代数《指数不等式和对数不等式的解法》为例，我在课堂教学中是这样处理教材的：在给全班学生复习了指数函数和对数函数的单调性之后，我便给学生讲解指数不等式和对数不等式的解题策略，便是将不等式进行转化，然后用通过具体的例子进行讲解，这时，我对不同小组的同学提出了如下不同的要求。
我对全班同学说，在今天的例子中，例1和例2是教材中的例题，对A组的同学必须作出要求，用另外的话说，也就是A组的同学对例1和例2必须切实掌握：
例1 解不等式 （见数学教材P23例3）。
例2 解不等式 （见教材P23例4）。
通过对例1和例2的解答，我给A组的学生指出，对于指数不等式，我们首先要看能否将它们化为底数相同的不等式，然后由指数函数的单调性得出指数间的关系。对于对数不等式，特别地给学生强调，对数的真数为正数这一条件，然后再根据对数函数的单调性将其转化。
对于B组的同学，我除要求它们掌握A组的例题外，还要求它们掌握例3这种较为复杂一点的指数不等式问题。
例3 解不等式 。
我首先引导B组的同学分析例3中数字间的关系，9=32，4=22，6=2×3，这有利于培养学生对数字的敏感性。在讲例3的过程中，引导学生先将其变形为 ，然后可以假定A= 用换元法将 解出，最后由指数函数的单调性得出原不等式的解集为 。
对C组的同学我除了要求他们掌握B组的问题外，对C组学生的综合能力我提出了更高的要求，于是我讲了例4，要求C组的同学切实掌握例4的解题思路及能力要求。
例4 解不等式 。
在解这个不等式的过程中，用到了指数函数和对数函数的单调性，还用到了数学方法中的换元法，更为重要的是，例4中含有参数a，在解题的过程中必须对参数进行分类讨论，例4是培养优秀学生综合能力的一个好例题。
由于我在教学过程中强调了对各组同学的具体要求，因此学生在学习的过程中便根据自己的基础掌握不同的内容，学生便不会出现因听不懂例题的内容而在课课上睡觉现象。
2.4分层作业
为了使学生学有所获，我在对学生实施分层上课后对作业的要求也是不同的，还是以《解指数不等式和对数不等式》为例，我是这样对学生布置作业的：
A组作业：解下列不等式:
(1)
(2) .
(3)
(4) .
B组作业：
1解下列不等式:
(1)
(2) .
(3) .
(4)
2.求不等式 在(0,1)上的解集.
3.求函数 的定义域.
C组作业：
1. 同B组1(1);
2. 同B组2题;
3. 同B组3题;
4. 解不等式
5. 解不等式
2.5分层辅导
在教学中对学生的学习辅导是学生巩固和掌握知识的一个重要环节。在课堂上我对学生实行分层授课后，在课外的辅导方面我采用了让学生之间相互辅导的办法进行学习辅导，即通过对口扶贫的方式进行辅导，收到了较好的效果。我的办法是，我课外直接对C组的同学进行辅导，B组的同学由C组的同学进行辅导，A组的同学由B组的同学进行辅导，这样，将全体同学的积极性都调动了起来。我对学生说，自己会做题还不表示你真正弄懂了一道题，只有你能讲解后别人能听懂则说明你自己真正懂了。另外，我给学生说，你们
2.6分层测验
为了检查学生学习的效果，测验是用得最多的一种方式。我自从采用分层教学后，对学生的测验采用A、B、C三套不同的试卷，以使不同的学生在考试的过程中都能将自己的水平发挥出来。在测验的过程中，学生可以根据自己的实际情况自己选择不同的试卷，即A组的同学可以选择B组的试卷，同样，B组的同学也可以选择C组的试卷。每次测验后各个组进步较大的同学可以上升一个小组，而退步的同学则的降到下一个小组。
2． 收获与体会
我们学校是一个有近1500名学生，100多名教师，31个教学班的大校，我是学校办公室副主任，担任学校办公室的全部工作，同时担任高中两个班的数学教学工作,此外还担任学校会计的工作。工作之多可想而知，自从我采用分层教学之后，我教得极为轻松，学生也学得愉快，教学效果在全年级的六个教学班中名列前茅。我是在高一上学期中期考试后由于原数学教师的工作原因而接手的，我接手的是高一(3)、(4)班两个班的数学课。当时年级学生在学校中期考试中的情况如下表所示（考试由学校交叉命题，交叉阅卷，任课教师在学生分数出来前均不接触本级学生的试卷）：
班 级 一 二 三 四 五 六
平均分 52.2 48.5 45.7 48.3 50.2 53.9
及格率 55% 50% 47% 49.5% 52% 58%
优秀率 19% 15% 10% 12% 17% 20%
综合名次 2 4 6 5 3 1
从上表可以看出，在我接手前学生的成绩分别为年级的第四名及第六名。
之后又通过半年多的教学，在高一学年结束时由市教委教研室统一命题，全市统一考试及阅卷，学生的考试成绩为：
班 级 一 二 三 四 五 六
平均分 54.1 50.0 55.2 58.4 47.4 49.7
及格率 52% 48% 54% 60% 40% 42%
优秀率 30% 29% 33% 40% 20% 23%
综合名次 3 4 2 1 6 5
通过以上的统计不难看出，尽管我采用分层教学的时间还不到一年，但是学生的进步是显著的,此外,在全国希望杯数学邀请赛中,我所教班级有一个学生获全年级唯一一个全国三等奖。我在学校担任的工作相当于三个人的工作量(并没有多拿一分钱的工资和奖金），有老师和我开玩笑说我是能者多劳，其实真正使我受益的是我对学生采用了分层教学，并且很多工作都由学生帮我完成了。
总结分层教学中的一些得失，我有如下一些体会：
(1)因为对学生进行了分组，并对不同的学生实行不同的要求，真正使因材实教落到了实处。
(2)对不同的学生提出不同的要求，这样能使每个学生都在课堂上学有所获，兼顾了低差生，学生在课堂上学得懂，听得明，作业做得会，这便是学习上的一种良性循环。
(3)在分组的过程中以A、B、C组出现，而不出现差生等词语，保护了学生的自尊心。此外，在课堂上，某些A组的同学能听懂一些B组的内容，B组的一些同学能听懂一些C组的内容，这增强了学生的自信心。
(4)在辅导的过程中，让C组的同学辅导B组同学，B组同学辅导A组同学，既培养了学生的参与意识，提高了学生学习的主动性，同时又减轻了教师的负责，使教师有更多的时间和精力做其它教学方面的工作。
(5)使用分层教学，在测验时学生可以自主选择试卷，学生不会因为自己的测验成绩过低而抬不起头，不少同学都愿意选择上一个小组的试题以显示自己在学习上的进步，这增强了学生学习的主动性。
(6)由于分组的情况将随时因学生的成绩而改变，C组的同学不愿降到B、A组去，同时A、B组的同学又希望能升到C组来，这样便将竞争机制引入到了教学之中，学生学习的主动性增强，因而学习的提高也较快。
在实施应试教育向素质教育转轨的今天，要使因材施教落到实处，使全体学生都能得到不同程度的最大限度的发展，实施分层教学不失为一种好方法。当然，笔者对分层教学的有关理论及实践仍在探索之中，希望有更多的同行能加入到分层教学的实验中来。
高中生数学成绩分化的原因与对策
数学作为衡量一个人能力的重要学科，从小学到高中绝大多数同学对它情有独钟，投入了大量的时间与精力．然而并非人人都是成功者，许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟头就栽在数学上．据统计我现在所授课的高三两个班１３１名同学中有８６人来自重点初中．其余虽来自普通中学，但数学成绩也居上游．就是这些经过选拔而来的上等生，在高一学年的几次大考中，数学不及格的人数竟占１／３．
一、学习状态的分析
面对众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，我对他们的学习状态进行了研究，调查表明，造成成绩滑坡的主要原因有以下几个方面．
１．被动学习．许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权．表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”．
２．学不得法．老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法．而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背．也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微．
３．不重视基础．一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹜远，重“量”轻“质”，陷入题海．到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”．
４．进一步学习条件不具备．高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃．这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备．高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高．如二次函数在闭区间上的最值问题，函数值域的求法，实根分布与参变量方程，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际应用问题等．客观上这些观点就是分化点，有的内容还是高初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，分化是不可避免的．
二、对策
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动．针对学生学习中出现的上述情况，我采取了以加强学法指导为主，化解分化点为辅的对策，收到了一定的效果．
１．加强学法指导，培养良好学习习惯反复使用的方法将变成人们的习惯行为．什么是良好的学习习惯？我向学生做了如下具体解释，它包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面．
制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力．但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志．
课前自学是学生上好新课，取得较好学习效果的基础．课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习主动权．自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲课的思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上．
上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节．“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可略；什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼．
及时复习是高效率学习的重要一环，通过反复阅读教材，多方查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记上，使对所学的新知识由“懂”到“会”．
独立作业是学生通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程．这一过程是对学生意志毅力的考验，通过运用使学生对所学知识由“会”到“熟”．
解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程．解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍．对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿出来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到“活”．
系统小结是学生通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节．小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与有关资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系．以达到对所学知识融会贯通的目的．经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”．
课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等．课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富学生的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能满足和发展他们的兴趣爱好，培养独立学习和工作能力，激发求知欲与学习热情．
２．循序渐进，防止急躁
由于年龄较小，阅历有限，为数不少的高中学生容易急躁，有的同学贪多求快，囫囵吞枣，有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就，有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振．针对这些情况，我们让学生懂得学习是一个长期的巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成，为什么高中要上三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度．
３．研究学科特点，寻找最佳学习方法
数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任．它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高．学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，埋头做题不总结积累不行，对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来。
关键是创设问题情境――引导学生自主学习的教学体会点滴
主体性是素质教育的核心和灵魂．在教学中要真正体现学生的主体性，就必须使认知过程是一个再创造的过程，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，实现发现、理解、创造与应用，在学习中学会学习．而创设问题情境，使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，乃是主体参与的条件和关键．本文就此问题谈几点体会和认识．
1 创设问题情境的主要方式
1．1 创设应用性问题情境，引导学生自己发现数学命题（公理、定理、性质、公式）
案例1 在“均值不等式”一节的教学中，可设计如下两个实际应用问题，引导学生从中发现关于均值不等式的定理及其推论．
①某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．有三种降价方案：甲方案是第一次打ｐ折销售，第二次打ｑ折销售；乙方案是第一次打ｑ折销售，第二次找ｐ折销售；丙方案是两次都打（ｐ＋ｑ）／2折销售．请问：哪一种方案降价较多？
②今有一台天平两臂之长略有差异，其他均精确．有人要用它称量物体的重量，只须将物体放在左、右两个托盘中各称一次，再将称量结果相加后除以2就是物体的真实重量．你认为这种做法对不对？如果不对的话，你能否找到一种用这台天平称量物体重量的正确方法？
学生通过审题、分析、讨论，对于问题①，大都能归结为比较ｐｑ与（（ｐ＋ｑ）／2）2大小的问题，进而用特殊值法猜测出ｐｑ≤（（ｐ＋ｑ）／2）2，即可得ｐ2＋ｑ2≥2ｐｑ．对于问题②，可安排一名学生上台讲述：设物体真实重量为Ｇ，天平两臂长分别为ｌ1、ｌ2，两次称量结果分别为ａ、ｂ，由力矩平衡原理，得ｌ1Ｇ＝ｌ2ａ，ｌ2Ｇ＝ｌ1ｂ，两式相乘，得Ｇ2＝ａｂ，由问题①的结论知ａｂ≤（（ａ＋ｂ）／2）2，即得（ａ＋ｂ）／2≥，从而回答了实际问题．此时，给出均值不等式的两个定理，已是水到渠成，其证明过程完全可以由学生自己完成．
以上两个应用问题，一个是经济生活中的问题，一个是物理中的问题，贴近生活，贴近实际，给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程．在这样的问题情境下，再注意给学生动手、动脑的空间和时间，学生一定会想学、乐学、主动学．
1．2 创设趣味性问题情境，引发学生自主学习的兴趣
案例2 在“等比数列”一节的教学时，可创设如下有趣的问题情境引入等比数列的概念：
阿基里斯（希腊神话中的善跑英雄）和乌龟赛跑，乌龟在前方1里处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当它追到1里处时，乌龟前进了1／10里，当他追到1／10里，乌龟前进了1／100里；当他追到1／100里时，乌龟又前进了1／1000里……
①分别写出相同的各段时间里阿基里斯和乌龟各自所行的路程；
②阿基里斯能否追上乌龟？
让学生观察这两个数列的特点引出等比数列的定义，学生兴趣十分浓厚，很快就进入了主动学习的状态．
1．3 创设开放性问题情境，引导学生积极思考
案例3 直线ｙ＝2ｘ＋ｍ与抛物线ｙ＝ｘ2相交于Ａ、Ｂ两点，________ ，求直线ＡＢ的方程．（需要补充恰当的条件，使直线方程得以确定）
此题一出示，学生的思维便很活跃，补充的条件形形色色．例如：
①｜ＡＢ｜＝；
②若Ｏ为原点，∠ＡＯＢ＝90°；
③ＡＢ中点的纵坐标为6；
④ＡＢ过抛物线的焦点Ｆ．
涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线的焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等等，学生实实在在地进入了“状态”．
1．4 创设直观性图形情境，引导学生深刻理解数学概念
案例4 “充要条件”是高中数学中的一个重要概念，并且是教与学的一个难点．若设计如下四个电路图，视“开关Ａ的闭合”为条件Ａ，“灯泡Ｂ亮”为结论Ｂ，给充分不必要条件、充分必要条件、必要不充分条件、既不充分又不必要条件以十分贴切、形象的诠释，则使学生兴趣盎然，对“充要条件”的概念理解得入木三分．
1．5 创设新异悬念情境，引导学生自主探究
案例5 在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线定义“平面上与一个定点F和一条定直线ｌ的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”之后，设置这样的问题情境：初中已学过的一元二次函数的图象就是抛物线，而今定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致，它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在的联系吗？
此问题问得新奇，问题的结论应该是肯定的，而课本中又无解释，这自然会引起学生探索其中奥秘的欲望．此时，教师注意点拨：我们应该由ｙ＝ｘ2入手推导出曲线上的动点到某定点和某定直线的距离相等，即可导出形如动点Ｐ（ｘ，ｙ）到定点Ｆ（ｘ0，ｙ0）的距离等于动点Ｐ（ｘ，ｙ）到定直线ｌ的距离．大家试试看!学生纷纷动笔变形、拚凑，教师巡视后可安排一学生板演并进行讲述：
ｘ2＝ｙ
?ｘ2＋ｙ2＝ｙ＋ｙ2
?ｘ2＋ｙ2－（1／2）ｙ＝ｙ2＋（1／2）ｙ
?ｘ2＋（ｙ－1／4）2＝（ｙ＋1／4）2
?＝｜ｙ＋14｜．
它表示平面上动点Ｐ（ｘ，ｙ）到定点Ｆ（0，1／4）的距离正好等于它到直线ｙ＝－1／4的距离，完全符合现在的定义．
这个教学环节对训练学生的自主探究能力，无疑是非常珍贵的．
1．6 创设疑惑陷阱情境，引导学生主动参与讨论
案例6 双曲线ｘ2／25－ｙ2／144＝1上一点Ｐ到右焦点的距离是5，则下面结论正确的是（ ）．
?Ａ．Ｐ到左焦点的距离为8
?Ｂ．Ｐ到左焦点的距离为15
?Ｃ．Ｐ到左焦点的距离不确定
?Ｄ．这样的点Ｐ不存在
?
教学时，根据学生平时练习的反馈信息，有意识地出示如下两种错误解法：
?
错解1．设双曲线的左、右焦点分别为Ｆ1、Ｆ2，由双曲线的定义得
? ｜ＰＦ1｜－｜ＰＦ2｜＝±10．
? ∵｜ＰＦ2｜＝5，
? ∴｜ＰＦ1｜＝｜ＰＦ2｜＋10＝15，故正确的结论为Ｂ．
?
错解2．设Ｐ（ｘ0，ｙ0）为双曲线右支上一点，则
?｜ＰＦ2｜?＝ｅｘ0－ａ，由ａ＝5，｜ＰＦ2｜＝5，得ｅｘ0＝10，
? ∴｜ＰＦ1｜＝ｅｘ0＋ａ＝15，故正确结论为Ｂ．
?
然后引导学生进行讨论辨析：若｜ＰＦ2｜＝5，｜ＰＦ1｜＝15，则｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜＝20，而｜Ｆ1Ｆ2｜＝2ｃ＝26，即有｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜＜｜Ｆ1Ｆ2｜，这与三角形两边之和大于第三边矛盾，可见这样的点Ｐ是不存在的．因此，正确的结论应为Ｄ．
进行上述引导，让学生比较定义，找出了产生错误的在原因即是忽视了双曲线定义中的限制条件，所以除了考虑条件｜｜ＰＦ1｜－｜ＰＦ2｜｜＝2ａ，还要注意条件ａ＜ｃ和｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜≥｜Ｆ1Ｆ2｜．
? 通过上述问题的辨析，不仅使学生从“陷阱”中跳出来，增强了防御“陷阱”的经验，更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，取得学习的主动权．
1．7 创设已有知识的问题序列，引导学生自己获取新知识的生长点
至此，学生对“曲线”与“方程”的关系已有了一些初步的认识，在此基础上指导学生阅读课本，学生就能够理解曲线和方程的“纯粹性”及“完备性”的含义，也就理解了什么是“曲线的方程”和“方程的曲线”．
? 1．8 编拟读书提纲，引导学生阅读自学
? 案例8 在《立体几何》（必修本）“平面的基本性质”一节，可拟以下阅读提纲，让学生阅读自学：
? ①三个定理的主要作用分别是什么？
? ②定理中的“有且只有”说明了事物的什么性？
? ③定理3的推论1证明分几步？
? ④定理3的推论2及推论3你会证明吗？
? ⑤平面几何中的公理、定理等，在空间图形中是否仍然成立？你能试举一例吗？
? 通过学生对课文的阅读，既加深了学生对课文的理解，又提高了学生的学习能力．
? 2 创设问题情境的原则
? 创设情境的方法很多，但必须做到科学、适度，具体地说，有以下几个原则：
? ①要有难度，但须在学生的“最近发现区”内，使学生可以“跳一跳，摘桃子”．
? ②要考虑到大多数学生的认知水平，应面向全体学生，切忌专为少数人设置．
? ③要简洁明确，有针对性、目的性，表达简明扼要和清晰，不要含糊不清，使学生盲目应付，思维混乱．
? ④要注意时机，情境的设置时间要恰当，寻求学生思维的最佳突破口．
? ⑤要少而精，做到教者提问少而精，学生质疑多且深．
?
3 几点体会与认识
?
3．1 要充分重视“问题情境”在课堂教学中的作用
? 问题情境的设置不仅在教学的引入阶段要格外注意，而且应当随着教学过程的展开要成为一个连续的过程，并形成几个高潮．通过精心设计问题情境，不断激发学习动机，使学生经常处于“愤悱”的状态中，给学生提供学习的目标和思维的空间，学生自主学习才能真正成为可能．
?
3．2 在引导学生自主学习中加强学法指导
为了在课堂教学中推进素质教育，从发展性的要求来看，不仅要让学生“学会”数学，而更重要的是“会学”数学，学会学习，具备在未来的工作中，科学地提出问题、探索问题、创造性地解决问题的能力．要结合教学实际，因势利导，适时地进行学法指导，使学生在自主学习中，逐渐领会和掌握科学的学习方法．当然，学生自主学习也离不开教师的主导作用，这种作用主要在问题情境设置和学法指导两个方面．学法指导有利于提高学生自主学习的效益，使他们在学习中把摸索体会到的观念、方法尽快地上升到理论的高度．
3．3 注重情感因素是启动学生自主学习的关键
要引导学生自主学习，动机、兴趣、情感、意志、性格等非智力因素起着关键的作用．只有把智力因素与非智力因素有机地结合起来，充分调动学生认知的、心理的、生理的、情感的、行为的、价值的等方面的因素，让学生进入一种全新的境界，学生自主学习才能达到比较好的效果．这就需要在课堂教学中，做到师生融洽，感情交流，充分尊重学生人格，关心学生的发展，营造一个民主、平等、和谐的氛围，在认知和情意两个领域的有机结合上，促进学生的全面发展．
关于提高数学教学开放度的探索和思考
实施素质教育、进行考试的改革和创新、减轻学生的负担是当前教育界急需解决的一个重大课题。开放式数学教学就是对素质教育的一种探索，是当前数学教育的一个发展潮流。近几年数学教育工作者对开放式数学教学作了积极的探索，并取得了一定成绩，但是，由于种种原因，还没有提高到开放性教学应有的高度来认识，使得数学教学的开放性程度仍然不能满足教育改革的需要。因此，探讨如何切实提高数学教学的开放性程度，全面提高教学质量，具有十分重要意义，我就此谈些粗浅的认识。
一、提高认识，充分认清开放式数学教学的内涵及意义
所谓“开放”，包括数学教学内容、学生数学活动和学生与教学内容之间相互作用等几个方面的开放。结合现代认知心理学对数学学习过程的要求及已有研究成果，笔者认为开放式数学教学的目标应是：充分尊重学生的主体地位，通过数学教学，在获取数学知识的同时，让学生主动学习自行获取数学知识的方法，学习主动参与数学实践的本领，进而获得终身受用的数学能力、创造能力和社会活动能力，在教学中，让学生能够按各自不同的目的、不同的选择、不同的能力、不同的兴趣选择不同的教学并得到发展，能力较强者能够积极参与数学活动，有进一步的发展机会；能力较低者也能参与数学活动，完成几项特殊的任务。在这个过程中，可以：（1）培养和捉进学生的好奇心和求知欲；（2）促进学生积极探索的态度和探索的策略；（3）鼓励学生参考已有的知识和技能，提出新问题，探索新问题；（4）刺激学生提高数学智力；（5）鼓励学生彼此讨论交流与合作。这种教学模式也体现了数学教学是为了所有的学生。
二、发挥学生的主体作用，引导学生积极主动参与教学的过程
由于数学教学的本质是数学思维活动的展开，因此数学课堂上学生的主要活动是通过动脑、动手、动口参与数学思维活动。教师不仅要鼓励学生参与，而且要引导学生主动参与，才能使学生主体性得到充分的发挥和发展，才能不断提高数学活动的开放度。这就要求我们在教学过程中为学生创造良好的主动参与条件，提供充分的参与机会，具体应注意以下几点：
1、 巧创激趣情境，激发学生的学习兴趣
教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，引导学生形成良好的意识倾向，促使学生主动地参与。
2、运用探究式教学，使学生主动参与
教学中，在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，根据教材提供的学习材料，伴随知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动，教师着力引导多思考、多探索，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题以及亲身参与问题的真实活动之中，只有这样，才能使学生亲身品尝到自己发现的乐趣，才能激起他们强烈的求知欲和创造欲。只有达到这样的境地、才会真正实现主动参与。
3、运用变式教学，确保其参与教学活动的持续的热情
变式教学是对数学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的
变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。通过
变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。
三、强化交流和合作，倡导开放的教学活动方式
相对而言，传统课堂教学较为重视师生之间的联系、沟通，而忽略学生之间的相互联系，忽视发挥学生群体在教学中的作用，现代教学论认为，数学教学过程应是学生主动学习的过程，它不仅是一个认识过程，而且也是一个交流和合作的过程。交流和合作的互利过程，为学生主动学习提供了开放的活动方式，提供了宽松和民主的环境，更有利于发展学生的主体性，促进学生智力、情感和社会技能的发展及创造能力的发展，为此，我们以强化小组交流与合作学习为核心，彻底改变课堂教学中“教师主讲，学生主听”的单一的教学组织形式，促进各个层次学生的共同发展。
具体应做好以下几点：
１、改革课堂教学的空间形式
小组交流与合作学习的空间形式多种多样，比较常见的有：T型、马蹄型、蜂窝型等。这些形式都以打乱原有的秧田座位排列方式为基本模式，遵循“组内异质，组间同质”的原则而构成，小组一般由5人或7人组成，也有4人、6人小组等等。小组的这种排列缩短了学生与学生之间的距离，增强了学生间相互交往的机会，有利于小组内成员的交流和合作学习。
2、小组学习任务的布置
小组内的交流与合作学习主要以协同活动为中介实现的，因此教师在组织小组交流与合作学习活动中，应把需要讨论、互相启发、反复推敲的问题布置给学习小组，让小组围绕问题进行交流和合作学习。教师不仅要指导组内交往，而且要引导组际交流，不仅要交流学习结果，更要重视交流学习方法。
3、注意培养学生的合作意识，训练学生的合作技能
教育学生树立集体主义观念和互帮互学的合作意识，使每个人都能为集体目标的实现尽心尽力。不断向学生传授合作的基本技能，使他们学会既善于积极主动地表现自己的意见，敢于说出不同的看法，又善于倾听别人的意见，相互启迪，并能够综合吸收各种不同的观点，共同寻找解决问题的思路。在具体实施过程中，教师要及时地有针对性地予以指导，训练学生养成良好的合作学习习惯。
立体几何中二面角的平面角的定位
空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而宣则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。
一、 重温二面角的平面角的定义
如图（1），α、β是由ι出发的两个平面,O是ι上任意一点,OC
α，且OC⊥ι；CD β，且OD⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α―ι―β的平面角，从中不难得到下列特征：
浅论数学直觉思维及培养
中学数学教学大纲(试验修订本)将培养学生的三大能力之一"逻辑思维能力"改为"思维能力"，虽然只是去掉两个字，概念的内涵却更加丰富，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多的注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。
一、数学直觉概念的界定
简单的说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。
对于直觉作以下说明：
(1)直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说："直觉不必建立在感觉明白之上．感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。"由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。正如迪瓦多内所说："这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活全生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓'直觉'……，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中是看不见的。"
(2)直觉与逻辑的关系
从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解决也离不开直觉，下面我们就以数学问题的证明为例，来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多"演绎推理元素"，一个成功的数学证明是这些基本运算或"演绎推理元素"的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个个基本运算和"演绎推理元素"就是这条通道的一个个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上，出发不久就会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。《中国青年报》曾报道，"约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣"，这种现象应该引起数学教育者的重视与反思。
二、直觉思维的主要特点
直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点，从培养直觉思维的必要性来看，笔者以为直觉思维有以下三个主要特点：
(1)简约性
直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了"跳跃式"的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的"本质"。
(2)创造性
现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。
伊恩．斯图加特说："直觉是真正的数学家赖以生存的东西"，许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上进发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分了环状结构更是一个直觉思维的成功典范。
(3)自信力
学生对数学产生兴趣的原因有两种，一种是教师的人格魅力，其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用，但笔者的观点是，兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的"自信心"。相比其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力，从而更加相信自己的能力
高斯在小学时就能解决问题"1+2+ …… +99+100＝?"，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。而现在的中学生极少具有直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法形成自信。
三、直觉思维的培养
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。
(!)扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠"机遇"，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。阿提雅说："一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。"阿达玛曾风趣的说："难道一只猴了也能应机遇而打印成整部美国宪法吗?"
(2)渗透数学的哲学观点及审美观念
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建邻的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2 ，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。
美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑，大胆的提出了反物质的假说，他认为真空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾经说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。
(3)重视解题教学
教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。
例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。
(4)设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
"跟着感觉走"是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
四、结束语
直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思．斯图尔特曾经说过这样一句话，"数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。"受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。
如何激发学生的数学学习动机
学习动机是指个人的意图愿望、心理需求或企图达到目标的一种动因、内在力量。只有极大地激发学生学习的动机，才能调动学生学习的积极性，才能提高学习质量。那么，怎样才能激发学生的学习动机呢？
一、使学生对学习有一个正确的认识，是激发学习动机的前提
１．使学生认识到学习是现代人生存的需要。联合国教科文组织提出：未来的文盲不是不识字的人，也不是识字很少的人，而是不会学习的人。从本世纪２０年代开始，随着科学技术的迅猛发展，把人类带进了信息时代，新知识的巨增和旧知识的快速老化，要求人们善于学习、终身不断地进行学习。
２．使学生认识到自己是学习过程中的主人。使学生明白只有自己亲自参与新知识的发现、独立解决问题、善于思辩、习惯于归纳整理，才能真正锻炼自己的思维、开发自己的智力、发展自己的能力。否则，仅仅知晓一个个问题的现成答案，自己的思维没有得到任何的锻炼，就失去了“数学是锻炼思维的体操”的作用。久而久之，定会两手空空无所收获！
二、应用恰当的方法，激发学生的学习动机
１．巧设悬念，激发学生学习的欲望
欲望是一种倾向于认识、研究、获得某种事物的心理特征。在学习过程中，可以通过巧设悬念，使学生对某种知识产生一种急于了解的心理，这样能够激起学生学习的欲望。例如：在讲“一元二次方程根与系数关系”一课时，先给学生讲个小故事：一天，小明去小李家看他，当时小李正在做解一元二次方程的习题，小明一看就告诉小李哪道题做错了。小李非常惊讶，问小明有什么“判断的秘法”？此时，我问学生“你们想不想知道这种秘法？”。同生们异口同声地说“想！”，于是同学们非常有兴趣地上完了这节课。
２．引起认知冲突，引起学生的注意
认知冲突是人的已有知识和经验与所面临的情境之间的冲突或差异。这种认知冲突会引起学生的新奇和惊讶，并引起学生的注意和关心，从而调动学生的学习的积极性。例如：“圆的定义”的教学，学生日常生活中对圆形的实物接触得也较多，小学又学过一些与圆有关的知识，对圆具有一定的感性和理性的认识。然而，他们还无法揭示圆的本质特征。如果教师此时问学生“究竟什么叫做圆？”，他们很难回答上来。不过，他们对“圆的定义”已经产生了想知道的急切心情，这时再进行教学则事半功倍。
３．给予成功的满足
兴趣是带有情绪色彩的认识倾向。在学习中，学生如果获得成功，就会产生愉快的心情。这种情绪反复发生，学习和愉快的情绪就会建立起较为稳定的联系，学生对学习就有了一定的兴趣。正如原苏联教育家苏霍姆林斯基所说：“成功的欢乐是一种巨大的情绪力量，它可以促进儿童好好学习的愿望。请你注意无论如何不要使这种内在力量消失。”（《给教师的建议》）。
４．进行情感交流，增强学习兴趣
“感人心者莫先乎于情”，教师应加强与学生感情的交流，增进与学生的友谊，关心他们、爱护他们，热情地帮助他们解决学习和生活中的困难。作学生的知心朋友，使学生对老师有较强的信任感、友好感、亲近感，那么学生自然而然地过渡到喜爱你所教的数学学科上了。达到“尊其师，信其道”的效果。
和学生进行情感交流的另一个方面是：教师通过数学或数学史学的故事等，来让学生了解数学的发展、演变及其作用，了解数学家们是如何发现数学原理及他们的治学态度等。比如：笔者给学生讲“数学之王──高斯”、“几何学之父──欧几里德”、“代数学之父──韦达”、“数学之神──阿基米德”等数学家的故事，不仅使学生对数学有了极大的兴趣，同时从中也受到了教育。起到了“动之以情，晓之以理，引之以悟，导之以行”的作用。
５．适当开展竞赛，提高学生学习的积极性
适当开展竞赛是激发学生学习积极性和争取优异成绩的一种有效手段。通过竞赛，学生的好胜心和求知欲更加强烈，学习兴趣和克服困难的毅力会大大加强，所以在课堂上，尤其是活动课上一般采取竞赛的形式来组织教学。
６．及时反馈，不断深化学习动机
从信息论和控制论角度看，没有信息反馈就没有控制。学生学习的情况怎样，这需要教师给予恰当地评价，以深化学生已有的学习动机，矫正学习中的偏差。教师既要注意课堂上的及时反馈，也要注意及时对作业、测试、活动等情况给予反馈。使反馈与评价相结合，使评价与指导相结合，充分发挥信息反馈的诊断作用、导向作用和激励作用，深化学生学习数学的动机。
当通过反馈，了解到一个小的教学目标已达到后，要再次“立障”、“设疑”深化学生学习动机，使学生始终充满了学习动力。比如：“提公因式法因式分解”教学中，当学生对形如：am+an,a(m+n)+b(m+n)的多项式会分解以后，再提出新问题，形如：a(m-n)+b(n-m)的多项式如何利用提公因式的方法因式分解呢？只有这样才能使学生的思维始终处于积极参与学习过程的状态，才能真正地深化学生的学习动机。
总之，要激发学生学习的动机，首先是使学生对学习有一个正确的认识，这是学习动力的源泉。尔后，是激发学习动机的技术性问题，即如何激发学生的学习动机。一句话，抓住学生的兴趣特点：他们常常对新颖的东西感兴趣，对运动变化的东西感兴趣，对相互矛盾的东西感兴趣，对笑话、幽默故事感兴趣，对美的东西感兴趣，对实验、操作感兴趣，对竞赛和游戏等感兴趣。以培养学习兴趣为核心，全方位激发学生的学习动机。
什么是数学思想？它们的作用是什么？
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。
“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施有关的“数学思想”的技术与操作程式中。中学数学用到的各种数学方法，都体现着一定的数学思想。数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想。有的数学思想（例如“一分为二”的思想和“转化”思想）和逻辑思想（例如完全归纳的思想）由于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可以称之为数学思想。
基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合思想，化归思想，函数与方程的思想，整体思想，极限思想，抽样统计思想等。当我们按照空间形式和数量关系将研究对象进行分类时，把分类思想也看作基本数学思想。基本数学思想有两大基石――符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大支柱――对应思想和公理化结构思想。基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一个结构性很强的网络。
数学中渗透着基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到我们学习和应用数学中去，那么我们的得到的是很多的。
数学教学杂谈
中国的数学教育正在从“应试教育”向“素质教育”转轨。改革开放的步伐，社会主义市场经济的大潮，正向缺乏活力的数学教育提出新的要求。“面向世界，面向末来，面向现代化”，再也不能停留在口头上或纸面上了。以改革的精神，把充满活力的小学教育带进21世纪，已是摆在我们面前的迫切任务。
在我们的教育界中经常能听到有关“素质教育”方面的事情，但真正能做到实在是太难，更多的是表面的文章，如果再这样下去的话，只有百害而无一益，我们时时刻刻在教育孩子们要诚实，大胆敢于创新，为什么我们却不能大胆的去承认错误，放开脚步去改革。
首先，必须改变教育观。在当前的各类学校中，不管教学者还是管理者、还是学生、还是家长，心中都把考第一，成绩看成唯一的衡量学生好坏的标准。使得教师和学生都围绕分数进行着教学。尤其是小学，学生整天为了学习，已经把儿童天生的“好奇心”快要埋没了，变在太多的“好胜心”，变成了沿着“一条有规律”的路走着，这样使他们形成 我们平时所讲的“书呆子”。而我们所需要的却要是能够探索自然奥秘，发现大自然规律，为人类做贡献的人才，这才是我们所追求最高的教育境界。
其次，要改变数学观。数学不等于计算，也不等于逻辑。我们的数学太注重机械的机能要求，抽象的逻辑推理。我想我们学习数学的目的不外是让学生能在生活中能运用数学的知识和技能来解决实际问题。例如我们的数学中包括许多用处不大的东西，过量的计算速度，矫揉造作的应用题正在无情地吞噬孩子们的宝贵时间，让那些“相向而行”、“相对而行”之类的所谓应用题走远些，别再折腾孩子了。所以我们必须想尽办法来使书本的知识和学生的生活联系起来，让学生把知识用活。
再次，应改革数学教材。现行的九年制义务教材有些东西应该让它走远些。例如有关计算的题目如四步的递等式，还有多位数的加减或乘除（数字比较大的），以及要求学生对此类计算题目要做到又对又快，又有何用呢？无非是数学杂技而已。21世纪的末来社会是计算机的时代，象过多过大的计算就让计算机去做。美国的学生要求在12岁时都能上网，我们到今还没有用上电脑，甚至有的连什么是电脑也不知道。这样的学生怎能适应末来的社会呢？所以教材应多放一些情景题、开放题、动手题。至于一些生编硬造，故弄玄虚的小学应用题，还是少一些吧！再比如一定让学生分清乘数和被乘数，而且必须把被乘数放在前面，连交换律都不成立了，真是何苦呢？讲了这么多，也不是说我们现行的教材一点也没有，它已经在这方面有所发展，我们并不能把它极端化。
最后，我们要改革课堂。把学习的主动权交给学生。汉字“学习”的象形意义是雏鸟模仿飞行动作，以模仿为主要含义。西方的学习“study",就有学习和研究的两重意思。确实，数学教师不能充当数学知识施舍者的角色。教师不该是至高无上的权威。事实上，学生的数学素质是通过数学活动而得到，即学生自己通过研究、比较、建构，逐步形成自己的知识框架。所以，我自己认为应多设计一些数学活动课，让学生真正动起来，也许非常必要。
在这里我想说说自己在这方面的想法。
1、布鲁纳说过，学习的最好刺激是对教学材料的兴趣。例如：小数的加减法，这一教学内容对五年级学生较为抽象，而学生对生活中商品的价格却是极为熟悉，因此在教学小数的加减法时，设置生活模拟场景，由学生做营业员和顾客，用自制的纸币进行商品交易。营业员们仔细地用“元”作单位为商品标价，热情地接待顾客，认真地收钱，找钱。顾客们则兴高采烈地选购商品、看价、付钱。在活动中，同学们初步认识了小数的加减法，并对其产生极大的兴趣。这样可使学生感到数学并不枯燥，它是那么地有趣，富有吸引力，离我们又是那么地近。
2、在生活中交流是一种最平常而最有效的社会能力。我们所培养的学生将来必将走向社会，因此我们可以在课堂上设立一些有关这方面的活动。例如：可以把一些寻求规律的问题等让学生分同桌互说、小组讨论、集休交流等形式来进行，这样使那些不敢发言的学生也有了一次能说说自己发自内心的话，也使教师想解决各种层次不同学生心中的疑难问题这个任务轻轻松松的在各种形式的讨论交流中迎刃而解，这样就使学生解决了学习的任务，又锻炼了学生自己的能力。同样使教师顺利的完成了本节课的内容。例如：在讲解商中间有零的除法时，教师费尽心机的想讲清楚在此写上零这个难点时，还不如让全班学生经过讨论，教师再来归纳好。
3、上面提到过的学生的“好奇心”乃是小学生重要的心理特征之一，常言道：“学起于思，思源于疑”。教学中若平铺直叙地讲解，只能是教师讲得口干舌燥，而学生却对此毫无兴趣，因此在教学中适当地设置悬念，使学生在心理上产生疑问和要求质疑的心态，才能使之产生强烈的求知欲，激发起对数学学习的兴趣。例如：教学用简便方法计算时，我先示题：25X72X4，99X99......接着让学生进行计算、打草稿、抄答案，足足忙了一阵子，有的还算错了。这时我却轻松地将各题的答案写在等号后面，学生们一脸的疑惑，猜不透老师是怎样“神机妙算”的。我告诉学生要以新方法：运用“乘法的运算定律”对这些题目进行简便运算。这一课以一悬念开始新课的教学，使学生一开始就产生探求新知识的欲望，调动了学习积极性。
总之，要把学生吸引到我们的数学课堂上来，使他们愿意学，积极学。我想作为一名普通的教师可以在如何调动学生的兴趣和积极性上去探索和尝试一下。
谈张思明的“导学探索，自主解决”教学模式
正向我们走来的二十一世纪是知识经济和高科技的时代。为了适应时代的要求，科学院系统已经提出建设国家创新体系，并开始实施知识创新工程；教育系统也提出了创新教育及培养具有高素质的创新人才的目标。作为基础教育的中学，为培养具有高系质的创新人才打好基础，全面实施素质教育，培养学生的创新能力，已逐渐成为大家的共识。培养目标及任务的变化，必然导致教学模式的改革。这就需要从单纯传授知识的传统教学模式，转变到在传授知识的同时，更要重视学生能力。特别是创新能力培养的新教学模式。在这方面，北大附中副校长、特级教师张思明对“导学探索，自主解决”的教学模式进行了有益的尝试，工取得了可历史意义的成果。本文就张思明“导学探索、知主解决”教学模式的基本内容、特点及其对我们的启示进行简要分析。
一、“导学探索、自主解决”教学模式的基本内容及其效果
张思明在他从事多年的高中数学教学中，逐渐摸索并总结出“导学探索、自主解决”教学模式的五个环节：
1、A环节��引导创设问题环境
根据教学内容，可以采用多种方式引导学生提出或设置问题。如：让学生通过自学课本提出和发现问题；根据学生作业中出现的错误设置问题；根据学生在学习讨论、研究中的发现引出问题；从上课开始的10分钟，自行设计相关的问题。
问题是思考的起点。教师引导学生围绕教材或课本内容提出或设置需要解决问题，实际上，就是教师引导学生认真读书，积极思级，激发探索问题的主动性，使学生明确本节课重点要解决的问题，此导启发学生进行思考。
2、B��环节师生平等探索讨论
对（A）提出或设置的问题，教师要通过引导、类比、对比、联想、观察、实验、归纳、化归，形成更数学化、更抽象化的问题；或形成引入探索、有希望成立的猜想；事项分解成更小、更具体、更可操作、更熟悉、更清晰并表现出递进层次的问题，从而使喾一的思考更科学化，为培养创造性思维作好必要的思考准备。
3、C环节��学生自主解决问题
在（B）的基础上，教师要引导学生应用学过的知识自己解决问题。特别要鼓励学生在自主解决问题中的独创性和创新精神。解决问题的方式，可以是“各自为战”，也可以“分组分群”，还可以“你一言、我一语”讨论式进行。对于一时“迷路”的学生，不要马上否定，而要尽可能地肯定学生思维中的合理成分。要激励学生，争取给更多的学生创设参与机会，使全们得到自主解决的训练和感受成功的体验。
4、D环节��评价总结巩固成果
教师引导学生对（B）、（C）中探索发现和解决问题的过程与成果进行自我评价，自我总结。比如，让学生来评价：探索发现的是否充分，问题解决的是否有效、彻底、简洁，得到的主法和结果有何意义，有何应用价值等等。对于某一学生的评价或小结，教师还可以让另一个学生再作“评价”的评价，也可以让学生构作一些练习来巩固学习成果。
5、E环节��求异探新形成（知识和问题）周转
课的结尾，教师要引导学生变维（改变问题的维度）、变序（改变问题的条件、结论）等方式来发散式提出新问题，并将新问题链引向课外或后继课程。需要指出的是，这里引导学生提问题的主要目的是培养学生设问、疑问、想问题的思维方法和习惯。能否最终解决问题，由于受多种条件的限制，已不是最重要的了。最后教师布置三类作业：A类��不限定格式、主式的作业，如阅读参考书的相关章节，预习或在教科书的白边处写批注，作略解等；B类��有指定要求的常规书面作业，要“少而精”；C类��选作性作业，或探索性作业，或微科研小课题等。
上面由5个环节组成的“导学探索、自主解决”教学模式，在具体实施或操作时，时间上不受单一课时的限制。可以是一个教学单元（如连排两节课），也可以是一节课的局部环节，甚至可以延伸到果外活动和寒暑假的作业中去。
张思明通过上述环节，运用“导学探索、自主解决”教学模式，进行高中数学教学，不仅使果堂活跃，大大调动学生学习和积极性，激发起学生的探索欲望，而且在探索中发现问题、分析归纳问题、尝试解决问题、评价解决问题成果和进一步探索新问题的过程中，学生思维方式得到科学引导，创新能力得到培养。许多学生反映：上一堂
二、“导学探索、自主解决”教学模式的基本特点和目标
1、它是一种努力实现教学过程“两主”作用有机结合的开放式教学模式
“导学探索、自主解决”教学模式，实际上是试图体现发现法、问题解决、引疑法、尝试指导效果回授等诸多教学模式的共同优点；试图努力实现教学过程“两主”作用的有机结合。教师的主导作用体现在创设好的问题环境，激发学生自主地探索解决问题的积极性和创造性；学生的主体作用体现在问题的探索、发现、解决上，而且问题的提出和解决程度和方式，由学生自主控制来完成。这种“两主”作用的有机结合，不仅体现在当堂课上，而且和课前后问题的衔接、扩展、延伸是紧密结合的，并构成了问题链。这种把课前、课中、课后知识及问题组合成类类似于食物链的问题链，就是一种不局限于单纯课堂教学的开放教学模式。
2、它体现了教学过程由教为主到以学为主的重心转移
教师要从培养学生能力，特别是培养创新能力的目标来组织教学，就不能单纯地在课堂上只传授知识，课堂教学的主要活动也不是简单地只由教师来讲授，而是要通过学生自主地自学探索，教师平等地参与学生的探索和学习活动来完成，并实现教学过程从以教为主到以学为主的重心转移。在这里，教师不应只是“讲演者”，不应“总是正确的指导导者”，而应不时扮演下列角色：“模特”��他不仅演示正确的，也表现正常的失误及纠正失误的思维技能；“参谋”��提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断；“询问者”��故作不知，问原因，找漏洞，督促学生完成进度；“仲裁者”��评判学生工作及成果的价值、意义，鼓励学生有创造性的想法和作法。教师按这样的不同角色的组织教学，就可以真正做到把教和学融为一体。
3、它是由他律向自律方向方向发展教学模式
学生的自学能力、探索精神、创新总识、解决实际问题的能力的形成需要一个由量变到质变的积累过程，而这个过程正是把教师的外部控制转变成学生的自我控制的过程，也就是由他律向自律转变的过程。“导学探索、自主解决”的“导学”是为学生提供一种学习的“模本”或“示范”，是学生完成自学的体验和准备。而学生在“导学”启示下进行探索，学会自学，掌握学习过程和自主解决问题的方法，使喾一接受成功与挫折的体验，这增强学生学好的自信心，培养意志品质、交往能力都是十分有益的，进而使学生学会“求知”，学会“做人”，学会“合作”，学会“生存”，为“可持续发展”和“终生教育”打下良好基础。这正是“导学”的最终目标，也是这种教学模式的目标和归宿。
以激励学习为特征，以学生为中心的“导学探索、自主解决”教学模式，较好地突破了单纯传授知识的传统教学模式，深化了课堂教学的改革，提高了课堂教学效益，使学生的自主学习、独立思考、个性特长及创新能力等方面得到提高发展。这种教学方法，为重点中学适应新形势要求，全面实施素质教育，为培养高素质创新人才打下良好基础，提供了一种可操作的教学实践模式。
三、“导学探索、自主解决”教学模式给我们的启示
1、教师转变教育思想和观念是提出和实践这种教学模式的基础
张思明之所以在多年高中数学教学的基础上提出和实践这种教学模式，是由于他在教学实践中认识到，传统的教学模式把重点放在培养学生的认知能力上，甚至有的还把学生当成“知识容器”，认为教学过程就是从教师这个“缸”里把知识一瓢一瓢地装在学生“桶”中。这种模式是难以培养出具有个性特长和创造精神、创新能力的人才来的。他认为数学是“做”出来的，不是“教”出来的。一个学生只在课堂上“听”课，没有活动，没有“做”，就不能形成真正的学习。他还认为，数学教学过程必须重视让学生亲身感受，动手操作，动口交流。在教师的指导下，学生有目标的探索和高度自主解决问题的过程，正是形成学生良好认识结构的基础。所以他提出数学教学的目标不仅仅局限于发展学生的认知能力，而更关注学生作为“社会中人”的发展，特别是学生个性和创造力的发展。他说：“数学教学不再是教师单纯地为学生的付出，而教师创造性生活一部分。数学教学的过程是师生双方实现自己生命价值和自身发展的舞台。”正是在这种全新教育思想和观念的指导下，张思明才逐步总结并提出了“导学探索、自主解决”的教学模式。同样，要实践这种教学模式，也要求必须建立起新的、符合时代要求的教育思想和观念。
2、教师的高素质和高能力是提出和实践这种教学模式的重要条件
“导学探索、自主解决”教学模式最终的目标是培养高素质和高能力的学生，为培养创新人才打下良好的基础。这种高目标势必要求教师也应具有高素质和高能力。张思明本人从一个晋通高中毕业生，通过艰苦的自学成才之路，成长为一名在教育、教学上都作出突出成绩的优秀教师，无论是业务功底，独立思考、创造思维能力及敬业奉献精神都达到校的程度。正是这种切身的体验和感受，这种自身对高素质和高能力的追求，才使他可能提出这种新的教学模式。正如张思明所说：“只有教师的创造力，才可能激发学生的创造欲；只有教师自己不断学习，自主地钻研探索教学规律，才有可能影响学生自主的学习和钻研；只有在充满生命力与和谐气氛的教学环境中，师生共同参与，相互作用，才能摩擦出智慧的火花，结出创造之果。”同样，要实践这种教学模式，其重要条件是教师必须对自己的素质和能力方面有高的要求，并达到高的境界。
3、学校领导要为推广和完善这种教学模式创造良好环境
“导学探索、自主解决”教学实践模式要求高、难度大，要真正推广和进一步完善，不仅需要广大教师转变教育思想和观念，而且要求教师本身具有高的素质和能力，这样势必带来困难。作为学校领导，要高瞻远瞩，从迎接二十一世纪挑战的培养高素质创新人才高度来认识这种模式的重要意义，需要果断地采取有效措施来支持、推广和进一步完善这种及其他教学模式，为这种或其他教学模式的推广创造良好的空间的环境。这里特别需要提到的是，在实践这种教学模式过程中，由于学生、教师及其他条件的原因，可能一时出现这样或那样的问题时，作为学校领导，一定要以一种积极的态度对待。在实践这种模式时，对于某些教师暂时存在的“怕影响学习成绩”、“怕达不到要求”等，也要正确引导，由点到面达逐步扩展。推广这种教学模式过程，实际上就是深化教学改革的过程。在这主面，学校领导投入较大精力是值得的。
