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1. 将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩
具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )
(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.2
3. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的９名增至14名，但只任取其中７名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）
4. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机
选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
（结果用分数表示）
5. 已知10件产品中有3件是次品.
（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
6. 冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
例题答案
1（Ⅰ）;（Ⅱ） 2（Ⅰ）;（Ⅱ）. 3（Ⅰ）0.228;（Ⅱ）0.564. 4（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.
作业答案
1. D 2. B 3. 4. 5. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）最少应抽取9件产品作检验.
6. 解：（I）. （II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1－P)+C55P5+C44P4=
第四课时
例题
例1 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电
（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.
（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004年浙江卷)
例2 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004年福建卷)
例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
(2004年湖南卷)
例4 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下:
预防措施
甲
乙
丙
丁
P
0.9
0.8
0.7
0.6
费用（万元）
90
60
30
10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)
备用 一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：
(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；
(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。
解： 记一个病人服用该药痊愈为事件 A，且其概率为P，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验.
(1)因新药有效且P=0.35，故由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，试验被否定（即新药无效）的概率为
(2)因新药无效，故P=0.25，试验被认为有效的概率为
答： 新药有效，但通过试验被否定的概率为0.5138；而新药无效，但通过试验被认为有效的概率为0.2242
作业
1. 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是
（A） （B） （C） （D） ( )
2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( )
(A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.7
3. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，
后摸的是白球．那么事件A发生的概率为________．
4. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出
5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作答）
5. 张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是 （假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）.
（Ⅰ）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率.
（Ⅱ）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2 个交叉路口的概率.设
6. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.
例题答案
1．（Ⅰ）； （Ⅱ）. 2．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
3．（Ⅰ）；（Ⅱ） 4．联合采用乙、丙、丁三种预防措施
作业答案
1. C 2. D 3. 4. 5. （Ⅰ）（Ⅱ） 6. （Ⅰ）,（Ⅱ）
第五课时
例题
例1 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率；
（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．
(2004年南京市一模)
例2 一个通信小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通信.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内
（Ⅰ）恰有一套设备能正常工作的概率；
（Ⅱ）能进行通信的概率. (2004年南京市二模)
例3 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别是，，.如果对这3名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测. 问
（Ⅰ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？
（Ⅱ）出现几人合格的概率最大？ (2004年南京市三模)
例4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.
（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. (2004年重庆卷)
备用 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.
解： 三局两胜制的甲胜概率：
甲胜两场：,甲胜三场：,
甲胜概率为+=0.648
五局三胜制：
甲胜三场：,甲胜四场：,甲胜五场：,
甲胜概率为++=0.682
由0.648<0.682，知五局三胜制中甲获胜的可能性更大.
作业
1. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
3. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是 ．
4. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为
5. 甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8. 求:
(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.
6. 对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套； ②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．
例题答案
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ) 2. (Ⅰ)(Ⅱ)
3.（Ⅰ），；（Ⅱ）1人 . 4. （Ⅰ）0.94, 0.44; （Ⅱ）0.441
作业答案
1. D 2. A 3. 4. 0.625 5. (Ⅰ) ; (Ⅱ)0.416+0.448=0.864.
6.(Ⅰ)①,②; (Ⅱ),,故A与B是不独立的．
备用课时一 随机事件的概率
例题
例1 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？
(2)三次内打开的概率是多少？
(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
解 5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。
(1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率P(A)==
(2)三次内打开房门的结果有种，因此所求概率P(A)= =
(3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率P(A)= =.
方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种.因此，三次内打开的结果有（）种，所求概率P(A)=
例2 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.
例3 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）
解 设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A是“从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)= ，于是P(A)=.
例4 将一枚骰子先后抛掷2次，计算:
(1)一共有多少种不同的结果.
(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？
(3)向上数之积是12的概率是多少？
解 （1）将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果.
(2)向上的数之积是12，记（I,j）为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4种情况.
(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= =.
作业
1． 袋中有a只黑球b只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率.
解法一：把a只黑球和b只白球都看作是不同的，将所有的球都一一摸出来放在一直线上的a+b个位置上，把所有的不同的排法作为基本事件的全体，则全体基本事件的总数为（a+b）！，而有利事件数为a(a+b-1)!故所求概率为P=。
解法二：把a只黑球和b只白球看作是不同的，将前k次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，总数为，有利事件为，故所求概率为P=
解法三：把只考虑k次摸出球的每一种可能作为基本事件，总数为a+b，有利事件为a,故所求概率为.
备用课时二 互斥事件有一个发生的概率
例题
例1 房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一月内的概率.
解 6个人生日都不在同一月内的概率P()=.故所求概率为P(A)=1-P()=1-.
例2 从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。
解法1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件B1；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件B2；每两张牌是同一花色为事件B3；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件B4，可见，B1,B2,B3,B4彼此互斥，且A=B1+B2+B3+B4。
P(B1)= , P(B2)= ,
P(B3)= , P(B4)= ,
P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 0.8945
解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A，则为取出的四张牌的花色各不相同， P（）=，
答：至少有两张牌花色相同的概率是0.8945
例3 在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。
恰有一件次品的概率P=.
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=
例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
解 从52张牌中任取4张，有种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法
注 研究至少情况时，分类要清楚。
作业
1． 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求：
(1) 2件都是合格品的概率；
(2) 2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，1件是次品的概率。
解 从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等.为基本事件总数.
（1）00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么
（2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为.记“任取2件都是次品”为事件A2,那么事件A2的概率为：
（3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为种，则事件A3的概率为：
备用课时三 相互独立事件同时发生的概率
例题
例1 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率为
例2 1个产品要经过2道加工程序，第一道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率.
解 设“第一道工序出现次品“为事件A，“第二道工序出现次品”为事件B，“至少有一道工序出现次品”该产品就是次品，所求概率为
例3 如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是，现在发现电路不通了，那么至少有两个焊接点脱落的概率是多少？
解：
例4 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.
解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P（A）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
作业
1． 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？
解 飞机成功飞行的概率：
4引擎飞机为：
2引擎飞机为：
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要
所以
