1．集合的真子集的个数为                            （   ）

A．3             B．4              C．7               D．8

2．复数（）²（其中i为虚数单位）的虚部等于                          （   ）

A．－i           B．1              C．－1             D．0

3．设函数在区间上连续，则实数的值为    (   )

A．2            B．1              C．0               D．3

4. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于                                                     (   )

A.  135               B.  270                     C.  540               D.  1215

5．下面四个命题：

　　①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；

②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；

③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；

④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；

其中正确命题的序号是                                                 (   )

    A．①②          B．②③            C．③④           D．②④

6．已知，则   （   ）

       A．2         B．            C．1                          D．0

7．已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正实数，，，使＋＋= ，则三个角∠AOB，∠BOC，∠COA                          （   ）

A．都是锐角     B．至多有两个钝角  C．恰有两个钝角    D．至少有两个钝角。

8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为                                                                 （   ）

A．          B．             C．             D．

9．双曲线 －＝1的左右焦点分别为F₁ ?F₂，在双曲线上存在点P，满足?PF₁?＝5?PF₂?。则此双曲线的离心率e的最大值为                              （   ）

A．            B．             C．             D．2

10．f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ，且满足 ，对任意的正数

a ?b ，若a ＜ b，则必有                                             （   ）

A．a f (a)≤b f (b)   B．a f (a)≥b f (b)    C．a f (b)≤b f (a)    D．a f (b)≥b f (a)

11．已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y)满足：

0≤≤1,0≤≤1,则的最大值为＿＿＿＿＿．

12．已知函数y=f(x),x∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）, 则不等式的的解集为       

13．已知＝1，则＝＿＿＿＿＿．

14．若两条异面直线所成的角为60⁰，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为＿＿＿＿＿．

15．已知抛物线的方程为，直线与抛物线交于A,B两点，且以弦AB

为直径的圆与抛物线的准线相切，则弦AB的中点的轨迹方程为                  ；当直线的倾斜角为时，圆的半径为              ．

16．（本小题满分12分）

已知向量a＝(cos, sin), b＝(cos,－ sin), 且x∈[0, ].

(1) 求a・b及?a＋b?；

(2)若f (x)= a・b－2?a＋b?的最小值为－7, 求实数的值.

17．（本小题满分12分）

某公司科研部研发了甲?乙两种产品的新一代产品，在投产上市前，每种新一代产品都要经过第一和第二两项技术指标检测，两项技术指标的检测结果相互独立，每项技术指标的检测结果都均有A ，B两个等级，对每种新一代产品，当两项技术指标的检测结果均为A级时，才允许投产上市，否则不能投产上市。

(1)已知甲?乙两种新一代产品的每一项技术指标的检测结果为A级的概率如下表所示，分别求出甲?乙两种新一代产品能投产上市的概率P_甲?P_乙；

第一项技术指标

第二项技术指标

甲

0.8

0.85

乙

0.75

0.8

(2)若甲?乙两种新一代产品能投产上市，可分别给公司创造100万元?150万元的利润；否则将分别给公司造成10万元?20万元的损失，在1）的条件下，用?分别表示甲?乙两种新一代产品的研发给公司创造的利润，求?的分布列及E?E.

18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 90⁰，D为棱BB₁上一点，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C.

1）求证：D点为棱BB₁的中点；

2）若二面角A －A₁D － C的平面角为60⁰，求的值。

19．（本小题满分13分）设正项数列｛｝的前项和为S_n，q为非零常数。已知对任意正整数n, m，当n ＞ m时，总成立。

1）求证数列｛｝是等比数列；

2）若正整数n, m, k成等差数列，求证： ＋≥。

20．（本小题满分13分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。

1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率K_ON ；

2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（∈R）使等式：

＝cos＋sin成立。

21．（本小题满分13分）

我们知道：函数y＝f (x)如果存在反函数y＝f ^-1 (x)，则y＝f (x)的图像与y＝f ^-1 (x)图像关于直线y＝x对称。若y＝f (x)的图像与y＝f ^-1 (x)的图像有公共点，其公共点却不一定都在直线y＝x上；例如函数f (x)＝。

（1）若函数y＝f (x)在其定义域上是增函数，且y＝f (x)的图像与其反函数y＝f ^-1 (x)的图像有公共点，证明这些公共点都在直线y＝x上；

（2）对问题：“函数f (x)＝a ^x (a＞1)与其反函数f ^-1 (x)＝log_ax的图像有多少个公共点？”有如下观点：

观点①：“当a＞1时两函数图像没有公共点，只有当0＜a＜1时两函数图像才有公共点”。

观点②：“利用（1）中的结论，可先讨论函数f (x)＝a ^x (a＞1)的图像与直线y＝x的公共点的个数，为此可构造函数F (x)＝a ^x－x(a＞1)，然后可利用F (x)的最小值进行讨论”。

请参考上述观点，讨论函数f (x)＝a^x (a＞1)与其反函数f ^-1 (x)＝log_ax图像公共点的个数。

数学试卷（理科）参考解答    

题序

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

A

C

D

B

D

B

B

C

11.  4.    12.  [－1,－ )∪(0, )..      13.  。       14.  24.  

  15. （3分）、（2分）。

16.解：（1）∵ a = (cos, sin), b = (cos,－ sin)

          ∴ a・b ＝cos cos＋sin（－ sin）＝cos cos－sin sin

＝cos（＋）＝cos2x                             ………3分

又易知：?a?＝1,?b?＝1     ∴?a＋b?² ＝ a ²＋b ²＋2 a・b

 ＝1＋1＋2 cos2x＝4cos²x ，且x∈[0, ],

∴?a＋b?＝2cosx.                                         ………6分

（2)  f (x)＝ a・b－2?a＋b?

＝cos2x－2(2cosx)

＝2cos²x－4cosx － 1

＝2(cosx－)²－2²－1                               ………8分

若＜0，当cosx＝0时，f (x)取得最小值－1，不合题意；

若＞1，当cosx＝1时，f (x)取得最小值1－4，由题意有1－4＝－7，得＝2；

若0≤≤1，当cosx＝时，f (x)取得最小值－2²－1，由题意有－2²－1＝－7，得＝±(舍去)。

综上所述：＝2。                                                ………12分

17．解：    1）由题意有：   P_甲 ＝ 0.8×0.85＝ 0.68 ；                 ………3分

P_乙 ＝ 0.75×0.8＝ 0.6 。                  ………6分

2）随机变量?的分布列分别是：

100

－10

P

0.68

0.32

150

－20

P

0.6

0.4

………9分

E ＝ 100×0.68＋（－10）×0.32 ＝ 64.8 ；

E ＝ 150×0.6＋（－20）×0.4 ＝ 82 。                  ………12分

18．解：    1）过点D作DE ⊥ A₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ?EF。

∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C内的直线DE ⊥ A₁ C

∴直线DE⊥面AA₁C₁C                                              ………3分

又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，

∴BF⊥面AA₁C₁C

由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，

又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA₁，

又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝  AA₁ ＝  BB₁，

所以D点为棱BB₁的中点；                                         ………6分

2）解法1：延长A₁ D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，

过B作BH⊥A₁ G于点H，连CH，由三垂线定理知：A₁ G⊥CH，

由此知∠CHB为二面角A －A₁D － C的平面角；                     ………9分

设AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝；

在直角三角形A₁A G中，易知 AB ＝ BG。

在直角三角形DB G中，BH ＝  ＝ ，

在直角三角形CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，

据题意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，解得：，

所以 ＝ 。                                               ………12分

2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，

则D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0)

        所以，                            ………8分

设面DA₁C的法向量为

则 

可取

又可取平面AA₁DB的法向量

cos〈〉         ………10分

        据题意有：，解得： ＝           ………12分

说明：考生的其他不同解法，请参照给分。

19．解：  1）因为对任意正整数n, m，当n ＞ m时，总成立。

所以当≥2时：，即，且也适合，又＞0，

故当≥2时：（非零常数），即｛｝是等比数列。           ………5分

2）若，则。所以

≥。          ………7分

若，则，，。     ………8分

所以≥。                   ………10分

又因为

≤。所以

≥≥。

综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 ＋≥总成立。

当且仅当时取“＝”。                                     ………13分

20．解：  1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：      ①                     ………2分

易知右焦点F的坐标为（），

据题意有AB所在的直线方程为：   ②                     ………3分

由①，②有：         ③

设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

所以，即为所求。                                    ………5分

2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：

，所以

。                                   ………7分

又点在椭圆C上，所以有整理为。           ④

由③有：。所以

   ⑤

又A?B在椭圆上，故有                ⑥

将⑤，⑥代入④可得：。                                ………11分

对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而

在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。

也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。                                                 ………13分

21．解； 1）设点M（x₀, y₀）是函数y ＝ f (x)的图像与其反函数y ＝ f ^-1 (x)的图像的公

点，则有：y₀＝f (x₀) ，                                    

y₀ ＝ f ^-1 (x₀)，据反函数的意义有：x₀ ＝ f (y₀)。                        ………2分

所以：y₀ ＝ f (x₀)且同时有x₀ ＝ f (y₀)。

若x₀ ＜ y₀ ，因为函数y ＝ f (x) 是其定义域上是增函数，

所以有：f (x₀) ＜ f (y₀) ，即y₀ ＜ x₀ 与 x₀ ＜ y₀矛盾，这说明x₀ ＜ y₀是错误的。

同理可证x₀ ＞ y₀也是错误的。

所以x₀ ＝ y₀ ，即函数y ＝ f (x)的图像与其反函数y ＝ f ^-1 (x)的图像有公共点在直线y ＝ x上；                                                        ………5分

2）构造函数F (x)＝a ^x－x(a＞1)

因为F′ (x)＝ a ^xlna － 1（a ＞ 1），                               ………6分

令F′ (x)＝ a ^xlna － 1≥0，

解得：x ≥。

所以当x ≥时：F′ (x)≥0，F (x)在区间上是增函数；

当x ≤时：F′ (x)≤0，F (x)在区间上是减函数。

所以F (x)的最小值为F (x)_min＝F ()＝－。………9分

令－＞0，解得：a ＞。

故当a＞时：F (x)_min ＝F ()＞0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0无实数解，这说明函数f (x)＝a ^x (a＞1)的图像与直线y＝x没有公共点；           ………10分

  当a＝时：F (x)_min ＝F ()＝F (e)＝0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0有唯一实数解x ＝＝e。这说明函数f (x)＝a ^x (a＞1)的图像与直线y＝x有唯一公共点；                                                     ………11分

当a＜时：F (x)_min ＝F ()＜0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0有两相异的实数解（设＜)。

又因为当x → -∞或x → +∞时有F (x) → +∞，且F (0)＝1，所以据函数

F (x)＝a ^x－x(a＞1)的单调性可知：-∞＜0＜＜＜＜+∞，这说明函数f (x)＝a ^x (a＞1)的图像与直线y＝x有两不同的公共点个公共点。      ………12分

综上所述：

当a＞时: 函数f (x)＝a ^x (a＞1)与其反函数f ^-1 (x)＝log_ax图像没有公共点；

当a ＝时：函数f (x)＝a ^x (a＞1)与其反函数f ^-1 (x)＝log_ax图像有唯一公共点；

当1＜a＜时:函数f (x)＝a ^x (a＞1)与其反函数f ^-1 (x)＝log_ax图像有两个不同的公共点。                                                             ………13分