Question

【题目】已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设
=x ， ，记y=f（x）．

（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[ ，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵过点M的直线分别交两边AB、AC于P、Q，

∴0＜x≤1，0＜y≤1

又∵ =x ， =y ，

∴ = = （ + ）= +

又∵P、M、Q三点共线，

∴ + =1，

∴y=f（x）=

由 得 ，

∴ ≤x≤1，

∴y=f（x）= ，x∈[ ，1]

（2）解：∵f（x）= = + 在[ ，1]内是减函数，

∴[f（x）]min=f（1）= ，[f（x）]max=f（ ）=1，

即函数f（x）的值域为[ ，1]

∵g'（x）=3x2+3a2≥0，

∴g（x）在[0，1]内是增函数，

∴[g（x）]min=g（0）=2a，[g（x）]max=g（1）=3a2+2a+1，

∴g（x）的值域为[2a，3a2+2a+1]

由题设得[ ，1][2a，3a2+2a+1]，

则

解得a的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[0， ]

【解析】（1）表示出向量AM，根据P、M、Q三点共线，得到关于x，y的等式，解出y即f（x）的解析式；（2）分别根据f（x），g（x）的单调性，求出f（x），g（x）的值域，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【考点精析】掌握平面向量的基本定理及其意义是解答本题的根本，需要知道如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．