Question

【题目】函数f（x）=alnx+1（a＞0）．
（1）当x＞0时，求证： ；
（2）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（3）当 时，求证： （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设

令 ，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，

则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．

（2）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x

即 ，

令 ，

令 ， ，

则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0

∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e﹣1

所以a的取值范围为[e﹣1，+∞）．

（3）证明：由第一问得知 ，则

则

=

=

=2n﹣

=2n﹣2（ ）=

【解析】（1）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值即可证明；（2）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即 ，令 ，利用导数研究函数的单调性、极值及最大值即可；（3）由第一问得知 ，则 ，然后利用“累加求和”即可证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)的相关知识才是答题的关键．