Question

【题目】已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；
（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N于C，D两点，求△OCD面积的最小值．
（3）附加题：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x2=﹣4y，

依题意可设椭圆N的标准方程为 + =1（a＞b＞0），

显然有c=1，a=2∴b= ，

∴椭圆N的标准方程为： ；

轨迹

（2）解：

所以x1x2+y1y2=0OA⊥OB

设 ，

所以 ，

同理可得： ，

所以 ，

令t=1+k2（t≥1）， ，

所以当

（3）解：设∠GPH=2α，圆x2+（y﹣1）2=1的圆心为E，如图：

当P在椭圆上顶点时PE最小为1，在椭圆下顶点时，|PE|的最大值为3，PE∈[1，3]，

PEcosα=PG，sinα= ．

∴

= = ，当且仅当|PE|= 时取等号．

因为|PE|∈[1，3]，所以 ．

【解析】（1）由抛物线的定义可得动点Q的轨迹M的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b，进而得到椭圆方程；（2）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx﹣4，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．（3）设∠EPF=2α，求出 表达式，利用 的范围，求解表达式的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．