Question

【题目】已知函数f（x）为对数函数，并且它的图象经过点（2 ， ），g（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3，其中b∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=g（x）在区间[ ，16]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=logax（a＞0且a≠1）

∵f（x）的图象经过点 ，∴ ，即

∴ ，即a=2

∴f（x）=log2x（x＞0）

（2）解：设t=f（x）=log2x，∵ ，∴

∴ ，即

则y=g（t）=t2﹣2bt+3=（t﹣b）2+3﹣b2， ，对称轴为t=b

①当 时，y=g（t）在 上是增函数，

②当 时，y=g（t）在 上是减函数，在（b，4]上是增函数，

③当b＞4时，y=g（t）在 上是减函数，ymin=g（4）=19﹣8b

综上所述，

【解析】（1）设f（x）=logax（a＞0且a≠1，代值计算即可求出函数的解析式，（2）设t=f（x）=log2x则y=g（t）=（t﹣b）2+3﹣b2 ， 对称轴为t=b，再利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论，从而可求函数y=g（x）在区间[ ，16]上的最小值
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．