Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（2+x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＞0，则﹣x＜0，

∵当x≤0时，f（x）=x（2+x），

∴f（﹣x）=﹣x（2﹣x）．

又f（x）是定义在R上的奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），

∴当x＞0时，f（x）=x（2﹣x）．

故函数f（x）的解析式为

（2）解：

函数f（x）的单调递增区间为[﹣1，1]，单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．

【解析】（1）当x＞0，则﹣x＜0，由已知表达式可求得f（﹣x），由奇函数的性质可得f（x）与f（﹣x）的关系，从而可求出f（x）；（2）根据函数的解析式，得出函数f（x）的图象，从而写出单调区间．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．