Question

【题目】已知函数F（x）=g（x）+h（x）=ex ， 且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若对任意的x∈（0，+∞），不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，2 ]
B.（﹣∞，2 ）
C.（﹣∞，2]
D.（﹣∞，2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函数F（x）=ex满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
∴g（﹣x）=g（x），h（﹣x）=﹣h（x）
∴ex =g（x）+h（x），e﹣x=g（x）﹣h（x），
∴g（x）= ，h（x）= ．
∵x∈（0，+∞），使得不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，即 ≥a 恒成立，
∴a≤ =（ex﹣e﹣x）+ ，
设t=ex﹣e﹣x ， 则函数t=ex﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，
∴0＜t，
此时 不等式t+ ≥2 ，当且仅当t= ，即t= 时，取等号，∴a≤2 ，
故选：A．
【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．