Question

【题目】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1 ， 1），P2（x2 ， 2）…Pn+1（xn+1 ， n+1）得到折线P1 P2…Pn+1 ， 求由该折线与直线y=0，x=x1 ， x=xn+1所围成的区域的面积Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，
由题意得 ，
两式相比得： ，解得q=2或q=﹣ （舍），
∴x1=1，
∴xn=2n﹣1 ．
（II）过P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1 ， Q2 ， Q3 ， …，Qn ，
即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn ，
则bn= =（2n+1）×2n﹣2 ，
∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2 ， ①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1 ， ②
①﹣②得：﹣Tn= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1
= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1 ．
∴Tn= ．
【解析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；
（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对等比数列的前n项和公式的理解，了解前项和公式：．