Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．

（1）求证：；

（2）求证：．

Answer 1

【答案】(1)见详解；（2）见详解.

【解析】

（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1∥平面A1CD．

（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是菱形，由其性质可得AC1⊥A1C，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根据线面垂直的判定定理可证A1C⊥平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1⊥A1C．

（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，

所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，

又因为：BC1平面A1CD，OD平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．

（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，

所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB平面ABC，所以：AB⊥AA1，

又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，

所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，

又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB平面ABC1，AC1平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，

因为：BC1平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．