Question

【题目】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．
又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n ．
由b3=a4﹣2a1 ， 可得3d﹣a1=8①．
由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16②，
联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．
所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n ．
（Ⅱ）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn ，
由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n ， 有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n ，
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n ，
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1 ，
上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1
= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8
得Tn= ．
所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为 ．
【解析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．