Question

【题目】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20 ， 接下来的两项是20 ， 21 ， 再接下来的三项是20 ， 21 ， 22 ， 依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）
A.440
B.330
C.220
D.110

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设该数列为{an}，设bn= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则 = ai ，
由题意可设数列{an}的前N项和为SN ， 数列{bn}的前n项和为Tn ， 则Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，
可知当N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由 =435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230 ， 故A项符合题意．
B项，仿上可知 =325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知 =210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知 =105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．
故选A．
方法二：由题意可知： ， ， ，… ，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，
所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，
由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有 +2=2，不满足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有 +3=17，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有 +4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有 +5=440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选A．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．