Question

【题目】对于无穷数列，记，若数列满足：“存在，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.

（Ⅰ）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？

（Ⅱ）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；

（Ⅲ）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）数列不具有性质；具有性质;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据新定义直接验证即可的结论（2）对于“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件，先证不充分性对于周期数列， 是有限集，但是由于，

所以不具有性质；再证必要性因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即，所以数列中必然会以某个周期进行，所以数列中最多有个不同的项，从而得证（3）因为数列具有性质，数列具有性质，所以存在，使得， ，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，然后根据其性质列出相关等式可得结论，然后逐一分析取值讨论

试题解析：

（Ⅰ）数列不具有性质；具有性质.

（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列， 是有限集，但是由于，

所以不具有性质；

（必要性）因为数列具有性质，

所以一定存在一组最小的且，满足，即

由性质的含义可得

所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律： 为一个周期中的各项，

所以数列中最多有个不同的项，

所以最多有个元素，即是有限集.

（Ⅲ）因为数列具有性质，数列具有性质，

所以存在，使得， ，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，

由性质的含义可得， ，

若，则取，可得；

若，则取，可得.

记，则对于，有， ，显然，

由性质的含义可得， ，

所以

所以.

所以，

又是满足， 的最小的正整数，

所以，

，

所以， ，

所以， ， ，

取，则，

所以，若是偶数，则；

若是奇数，则，

所以，

所以是公差为1的等差数列.