Question

【题目】已知动点到点和直线l： 的距离相等.

（Ⅰ）求动点的轨迹E的方程；

（Ⅱ）已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义可得方程（2）以AP为直径作圆，判断点和圆的位置关系则只需验证等于零否从而可得结论

（Ⅰ）设动点，

由抛物线定义可知点的轨迹E是以为焦点，直线l： 为准线的抛物线，

所以轨迹E的方程为.

（Ⅱ）法1：由题意可设直线，

由可得（*），

因为直线与曲线E有唯一公共点A，

所以，即.

所以（*）可化简为，

所以，

令得，

因为，

所以

所以，

所以点在以PA为直径的圆上.

法2：依题意可设直线，

由可得（*），

因为直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，

所以即

所以（*）可化简为，

所以.

令得，

因为，

所以，

所以点在以PA为直径的圆上.