Question

【题目】已知函数.

（1）若对恒成立，求实数的取值范围；

（2）是否存在整数，使得函数在区间上存在极小值，若存在，求出所有整数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在整数，使得函数在区间上存在极小值.

【解析】

试题分析：（1）由，设，则，利用导数工具求得，原命题可转化为对恒成立的取值范围为；（2）易得，利用分类讨论思想对、和分三种情况可得：存在整数，使得函数在区间上存在极小值.

试题解析：（1）由得，

设，则，

，∴，则在上是减函数，

∴，

对恒成立，即对恒成立，

∴，则实数的取值范围为.

（2），

∴，

①当时，，单调递增，无极值.

②当时，若，或，则；若，则.

∴当时，有极小值.

在上有极小值，∴.∴存在整数.

③当时，若或，则；若，则.

∴当时，有极小值.

在上有极小值，

∴，得.

由①②③得，存在整数，使得函数在区间上存在极小值.