Question

【题目】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．

(1)证明：函数f(x)是偶函数；

(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象；

(3)写出函数的值域．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）[2，＋∞)．

【解析】试题分析：（1）先确定定义域关于原点对称，再根据f(－x)与f(x)相等得偶函数（2）根据绝对值定义将函数分成三段，通过描点画函数图像（3）根据函调图像可得函数最小值，无最大值，即得函数值域

试题解析：解： (1)证明：∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|－(x＋1)|＋|－(x－1)|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，

∴函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)为偶函数．

(2)由x－1＝0，得x＝1；由x＋1＝0，得x＝－1.

当x<－1时，f(x)＝－2x；

当－1≤x≤1时，f(x)＝2；

当x>1时，f(x)＝2x.

∴f(x)＝f(x)的图象如图所示．

(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．