Question

【题目】已知函数，其中.

(Ⅰ) 当a＝－1时，求证： ；

(Ⅱ) 对任意，存在，使成立，求a的取值范围.

（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：

(1)写出 时的函数解析式，然后由导函数求得原函数的单调性，最后求得最大值： 即可证得题中的结论；

(2)将问题转化为 ，利用导函数的相关结论讨论最值得到关于实数 的不等式即可求得最终结果.

试题解析：

（Ⅰ）当a＝－1时， （x＞0），

则，令，得．

当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减．

故当时，函数取得极大值，也为最大值，所以，

所以， ，得证．

（II）原题即对任意，存在，使成立，

只需．

设，则，

令，则对于恒成立，

所以为上的增函数，

于是，即对于恒成立，

所以为上的增函数，则．

令，则，

当a≥0时， 为的减函数，且其值域为R，符合题意．

当a＜0时， ，由得，

由得，则p(x)在上为增函数；由得，则p(x)在上为减函数，所以，

从而由，解得．

综上所述，a的取值范围是.