Question

【题目】已知函数，其中.

(Ⅰ) 当a＝－1时，求证： ；

(Ⅱ) 对任意，存在，使成立，求a的取值范围.（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得函数的最大值为 即可证得结论；

(2)首先利用分析法真理要证明的不等式，然后构造函数证明结论即可.

试题解析：

（Ⅰ）当 a＝－1时， （x＞－1），

则，令，得．

当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减．

故当时，函数取得极大值，也为最大值，所以，

所以， ，得证．

（Ⅱ）不等式，

即为．

而

．

令．故对任意，存在，使恒成立，

所以．

设，则，

设，知对于恒成立，

则为上的增函数，于是，

即对于恒成立，所以为上的增函数．

所以

设，即，

当a≥0时， 为上的减函数，且其值域为R，可知符合题意．

当a＜0时， ，由可得，

由得，则p(x)在上为增函数；由得，则p(x)在上为减函数，所以．

从而由，解得．

综上所述，a的取值范围是.