Question

【题目】已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)．

①y＝f(x)的图象关于点(2π，0)中心对称；

②y＝f(x)的图象关于直线x＝π对称；

③f(x)的最大值为；

④f(x)既是奇函数，又是周期函数．

Answer 1

【答案】①④

【解析】依题意，对于①，f(4π－x)＝cos(4π－x)·sin[2(4π－x)]＝－cos x·sin 2x＝－f(x)，因此函数y＝f(x)的图象关于点(2π，0)中心对称，①正确；对于②，f＝，f＝－，因此f≠f，函数y＝f(x)的图象不关于直线x＝π对称，②不正确；对于③，f(x)＝2sin xcos2x＝2(sin x－sin3x)；令t＝sin x，则y＝2(t－t3)，t∈[－1,1]，y′＝2(1－3t2)，当－＜t＜时，y′＞0；当－1≤t＜－或＜t≤1时，y′＜0，因此函数y＝2(t－t3)在[－1,1]上的最大值是y＝2＝，即函数f(x)的最大值是，③不正确；对于④，f(－x)＝－f(x)，且f(2π＋x)＝2sin(2π＋x)cos2(2π＋x)＝2sin xcos2x＝f(x)，因此函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，④正确．综上所述，其中正确的结论是①④.